Номер 1162, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1162, страница 259.

1162. Какие из прямых у = 4x – 5, у = 0,5x –2, у = –1, у = – x + 3 имеют общие точки с графиком функции у = x?

y=4x-5 проходит через І четверть

y=0,5х-2 проходит через І четверть

у=-1 - проходит через III и IV четверть

у=-x+3 проходит через І, ІІ и III четверть

Так как график функции $y=\sqrt{x}$ проходит в І четверти, то прямые y=4x-5; y=0,5x-2; y=-x+3 имеют общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$

Чтобы определить, какие из данных прямых имеют общие точки с графиком функции $y = \sqrt{x}$, необходимо для каждой прямой решить систему уравнений, состоящую из уравнения этой прямой и уравнения $y = \sqrt{x}$. Наличие действительных решений у системы означает, что графики имеют общие точки. Важно помнить, что для функции $y = \sqrt{x}$ область определения $x \ge 0$, а область значений $y \ge 0$.

$y = 4x - 5$

Приравняем правые части уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 4x - 5$: $$ \sqrt{x} = 4x - 5 $$ Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, должно выполняться условие $4x - 5 \ge 0$, откуда $4x \ge 5$, то есть $x \ge \frac{5}{4}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = (4x - 5)^2 $$ $$ x = 16x^2 - 40x + 25 $$ $$ 16x^2 - 41x + 25 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 25 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-41) - \sqrt{81}}{2 \cdot 16} = \frac{41 - 9}{32} = \frac{32}{32} = 1$. $x_2 = \frac{-(-41) + \sqrt{81}}{2 \cdot 16} = \frac{41 + 9}{32} = \frac{50}{32} = \frac{25}{16}$. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge \frac{5}{4}$. Для $x_1 = 1$: $1 < \frac{5}{4}$ (или $1 < 1.25$), следовательно, этот корень является посторонним. Для $x_2 = \frac{25}{16}$: $\frac{25}{16} = 1.5625$, что больше $\frac{5}{4} = 1.25$. Условие $x \ge \frac{5}{4}$ выполняется. Так как существует один действительный корень, удовлетворяющий условиям, прямая и график функции имеют одну общую точку.

Ответ: Прямая $y=4x-5$ имеет общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

$y = 0,5x - 2$

Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x} = 0{,}5x - 2 $$ Из условия $\sqrt{x} \ge 0$ следует, что $0{,}5x - 2 \ge 0$, откуда $0{,}5x \ge 2$, то есть $x \ge 4$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x = (0{,}5x - 2)^2 $$ $$ x = 0{,}25x^2 - 2x + 4 $$ $$ 0{,}25x^2 - 3x + 4 = 0 $$ Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$ x^2 - 12x + 16 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 144 - 64 = 80$. $x = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$. Имеем два корня: $x_1 = 6 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 6 - 2\sqrt{5}$. Проверим корни на соответствие условию $x \ge 4$. Для $x_1 = 6 + 2\sqrt{5}$: так как $2\sqrt{5} > 0$, то $6 + 2\sqrt{5} > 6$, следовательно, $x_1 > 4$. Этот корень подходит. Для $x_2 = 6 - 2\sqrt{5}$: так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $2\sqrt{5} \approx 4.472$. Тогда $x_2 \approx 6 - 4.472 = 1.528$. Это значение меньше 4, поэтому корень $x_2$ является посторонним. Система имеет одно решение, значит, графики имеют одну общую точку.

Ответ: Прямая $y=0,5x-2$ имеет общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

$y = -1$

Рассмотрим уравнение, которое получится при приравнивании функций: $$ \sqrt{x} = -1 $$ По определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех допустимых значений $x$. Следовательно, уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений. Это означает, что прямая $y = -1$ не имеет общих точек с графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Прямая $y=-1$ не имеет общих точек с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

$y = -x + 3$

Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x} = -x + 3 $$ Для существования решения должны выполняться условия: $x \ge 0$ (из области определения $\sqrt{x}$) и $-x + 3 \ge 0$ (так как $\sqrt{x}$ неотрицателен), что дает $x \le 3$. Объединяя эти условия, получаем $0 \le x \le 3$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x = (-x + 3)^2 $$ $$ x = x^2 - 6x + 9 $$ $$ x^2 - 7x + 9 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$. $x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$. Получаем два корня: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$. Проверим корни на соответствие условию $0 \le x \le 3$. Для $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$: зная, что $3 < \sqrt{13} < 4$, имеем $x_1 > \frac{7+3}{2} = 5$. Так как $5 > 3$, этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним. Для $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$: зная, что $3 < \sqrt{13} < 4$, имеем $\frac{7-4}{2} < x_2 < \frac{7-3}{2}$, то есть $1.5 < x_2 < 2$. Это значение находится в интервале $[0, 3]$, следовательно, корень подходит. Система имеет одно решение, значит, графики имеют одну общую точку.

Ответ: Прямая $y=-x+3$ имеет общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$.