Номер 1167, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1167, страница 260.

1167. Используя рисунок 52 на с. 237, перечислите свойства функций y = x², y = x³, y = x и y = |x|.

I. y=x²

1. D(y)=R

2. E(y)=[0;+∞)

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

5. функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞)

6. Наибольшего значения функция не имей, наименьшее значение y=0 при x=0

II. y=x³

1. D(y)=R

2. E(y)=R

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(0;+∞)

y<0 при x∈(-∞;0)

5. функция возрастает на промежутке (-∞;+∞)

6. Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет

III. $\mathit{y}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}$

1. D(y)=[0;+∞)

2. E(y)=[0;+∞)

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(0;+∞)

5. функция возрастает на промежутке [0;+∞)

6. Наибольшего значения функция не имеет, наименьшее значение y=0 при x=0

IV. y=|x|

1. D(y)=R

2. E(y)=[0;+∞)

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

5. функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞)

6. наибольшего значения функция не имеет, наименьшее значение y=0 при x=0

$y = x^2$

Область определения: множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: множество всех неотрицательных чисел, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.
Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (OY).
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min}=0$. Точка $(0; 0)$ - точка минимума. Максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения $(-\infty; +\infty)$; область значений $[0; +\infty)$; четная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \neq 0$; убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0;0)$.

$y = x^3$

Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Экстремумы: точек минимума и максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^3$: область определения $(-\infty; +\infty)$; область значений $(-\infty; +\infty)$; нечетная; нуль функции $x=0$; $y<0$ при $x<0$ и $y>0$ при $x>0$; возрастает на $(-\infty; +\infty)$; экстремумов нет.

$y = \sqrt{x}$

Область определения: множество всех неотрицательных чисел, $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: множество всех неотрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на промежутке $(0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.
Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min}=0$. Точка $(0; 0)$ - точка минимума. Максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=\sqrt{x}$: область определения $[0; +\infty)$; область значений $[0; +\infty)$; ни четная, ни нечетная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x>0$; возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0;0)$.

$y = |x|$

Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: множество всех неотрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (OY).
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min}=0$. Точка $(0; 0)$ - точка минимума. Максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=|x|$: область определения $(-\infty; +\infty)$; область значений $[0; +\infty)$; четная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \neq 0$; убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0;0)$.