Номер 1163, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1163, страница 259.

1163. Постройте график функции y =4x + 34x² + 3x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

$$\begin{gathered} y=\frac{4x+3}{4x^2+3x} \\ 4x^2+3x\ne 0 \\ x\left(4x+3\right)\ne 0 \\ \begin{array}{ll}x\ne 0 \text{и}& 4x+3\ne 0\\ & 4x\ne -3 \\ x\ne -\frac{3}{4}\end{array} \\ \frac{4x+3}{4x^2+3x}=\frac{4x+3}{x\left(4x+3\right)}=\frac{1}{x}; y=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Если $k\le 0k\; \backslash leq\; 0$, то прямая $y=kxy=kx$ с графиком не имеет общих точек.

Если $k>0k>0$, то прямая $y=kxy=kx$ с графиком функции имеет две общие точки, но, если прямая $y=kxy=kx$ проходит через точку $x=-\frac{3}{4}; y=\frac{1}{-{\displaystyle \frac{3}{4}}}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$
$\left(-\frac{3}{4}; -1\frac{1}{3}\right)$, то прямая будет иметь одну общую точку: $k·\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\frac{1}{3};$$k=-\frac{4}{3}:\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{4}{3}·\frac{4}{3}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}$

Ответ: при $k=1\frac{7}{9}k=1\backslash frac\{7\}\{9\}$

Построение графика функции

Рассмотрим функцию $y = \frac{4x + 3}{4x^2 + 3x}$.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$4x^2 + 3x \neq 0$
$x(4x + 3) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $4x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{3}{4}$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup (-\frac{3}{4}; 0) \cup (0; +\infty)$.
Теперь упростим выражение для функции при $x \in D(y)$:
$y = \frac{4x + 3}{x(4x + 3)} = \frac{1}{x}$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = -\frac{3}{4}$.
График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).
Поскольку исходная функция не определена в точке $x = -\frac{3}{4}$, на графике гиперболы $y = \frac{1}{x}$ будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты:
$x = -\frac{3}{4}$
$y = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$
Следовательно, точка с координатами $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$ не принадлежит графику исходной функции.

Ответ: График функции $y = \frac{4x + 3}{4x^2 + 3x}$ является гиперболой $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$.

Определение значений k

Прямая $y = kx$ представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие значения параметра $k$, при которых эта прямая имеет с построенным графиком ровно одну общую точку.
Рассмотрим возможные случаи пересечения прямой $y=kx$ с графиком $y = \frac{1}{x}$ (с выколотой точкой):
1. Если $k < 0$, прямая $y=kx$ проходит через вторую и четвертую координатные четверти. График функции $y=1/x$ расположен в первой и третьей четвертях. В этом случае общих точек нет.
2. Если $k = 0$, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой для гиперболы и не пересекает ее. Общих точек нет.
3. Если $k > 0$, прямая $y=kx$ проходит через первую и третью координатные четверти и пересекает каждую ветвь гиперболы $y=1/x$ в одной точке. Таким образом, обычно имеется две точки пересечения.
Единственная общая точка может быть только в том случае, если одна из двух точек пересечения прямой $y=kx$ с гиперболой $y=1/x$ совпадает с выколотой точкой $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$. В этом случае прямая пройдет через "дырку" в графике, а вторая точка пересечения останется, что и даст ровно одну общую точку.
Найдем значение $k$, при котором прямая $y=kx$ проходит через точку $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$. Для этого подставим координаты точки в уравнение прямой:
$-\frac{4}{3} = k \cdot (-\frac{3}{4})$
$k = \frac{-4/3}{-3/4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.
При $k=\frac{16}{9}$ прямая $y=\frac{16}{9}x$ проходит через выколотую точку и пересекает график в одной другой точке. Таким образом, при этом значении $k$ прямая и график функции имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $k = \frac{16}{9}$.