Номер 1157, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1157, страница 258.

1157. Постройте график функции y =6|х| и опишите её свойства.

$y=\frac{6}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}y=\backslash frac\{6\}\{|x|\}$

Если $x>0x>0$, то $y=\frac{6}{x}y=\backslash frac\{6\}\{x\}$

x	1	2	3	6
y	6	3	2	1

Если , то $y=-\frac{6}{x}y=-\backslash frac\{6\}\{x\}$

x	-1	-2	-3	-6
y	6	3	2	1

1. $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

2. $E\left(y\right)=\left(0; +\mathrm{\infty }\right)E(y)=(0;+\backslash infty)$

3. Нулей нет

4. $y>0y\; >\; 0$ при $x\in \left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)x\; \backslash in\; (-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

5. Функция возрастает при $x\in \left(-\mathrm{\infty }; 0\right)x\; \backslash in\; (-\backslash infty;\; 0)$, убывает при $x\in \left(0; +\mathrm{\infty }\right)x\; \backslash in\; (0;+\backslash infty)$

Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.

Построение графика функции $y = \frac{6}{|x|}$

1. Анализ функции.
Функция $y = \frac{6}{|x|}$ определена для всех действительных чисел $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Условие $|x| \ne 0$ означает, что $x \ne 0$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Исследуем функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

2. Раскрытие модуля и построение по частям.
Благодаря свойству четности, достаточно построить график для $x > 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси $Oy$.
При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в I координатной четверти. Для ее построения найдем координаты нескольких контрольных точек:

$x$	1	2	3	6
$y$	6	3	2	1

Построив эту ветвь, отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$ и получаем вторую ветвь графика, которая находится во II координатной четверти. Эта ветвь соответствует функции $y = \frac{6}{-x}$ (или $y = -\frac{6}{x}$) при $x < 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях. Первая ветвь является графиком функции $y=\frac{6}{x}$ при $x>0$. Вторая ветвь симметрична первой относительно оси $Oy$. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Свойства функции $y = \frac{6}{|x|}$

1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
   $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: все положительные действительные числа.
   $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
4. Нули функции: отсутствуют. Уравнение $\frac{6}{|x|} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось $Ox$.
5. Точки пересечения с осями координат: отсутствуют, так как $x \ne 0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
7. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
8. Экстремумы: функция не имеет точек минимума и максимума.
9. Асимптоты:
   - вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$).
   - горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось $Ox$).

Ответ: Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Функция является четной.
4. Нулей нет, график не пересекает оси координат.
5. Функция положительна на всей области определения.
6. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.
7. Экстремумов нет.
8. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).