Номер 1156, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1156, страница 258.

1156. Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке 77, является графиком функции y = |x – 2|?

$$\begin{gathered} y=\left|x-2\right| \\ D\left(y\right)=R; E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \\ y\left(2\right)=\left|2-2\right|=0 \end{gathered}$$

Ответ: 2.

Для того чтобы определить, какой из графиков является графиком функции $y = |x - 2|$, проанализируем свойства этой функции и сравним их с представленными на рисунке графиками.

1. Анализ функции $y = |x - 2|$

График функции с модулем вида $y = |x - a|$ можно получить путем сдвига графика функции $y = |x|$ вдоль оси абсцисс. График $y = |x|$ — это "галочка", вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

В нашем случае функция $y = |x - 2|$. Это означает, что график $y = |x|$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Следовательно, вершина графика функции $y = |x - 2|$ будет находиться в точке $(2, 0)$.

Также найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью OY), подставив в уравнение $x = 0$:

$y = |0 - 2| = |-2| = 2$.

Таким образом, график должен проходить через точку $(0, 2)$.

Кроме того, по определению модуля, значение функции $y$ не может быть отрицательным, то есть $y \geq 0$ для любого $x$. Это значит, что весь график должен лежать выше или на оси OX.

2. Сравнение с предложенными графиками

Теперь сопоставим наши выводы с каждым из трех графиков.

1. На первом графике вершина находится в точке $(2, -2)$, что ниже оси OX. Это противоречит свойству $y \geq 0$. Следовательно, этот график не является графиком функции $y = |x - 2|$.

2. На втором графике вершина находится в точке $(2, 0)$. График пересекает ось OY в точке $(0, 2)$. Весь график расположен не ниже оси OX. Все эти свойства полностью соответствуют функции $y = |x - 2|$.

3. На третьем графике вершина находится в точке $(-2, 0)$. Этот график соответствует функции $y = |x + 2|$ (сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы влево), а не $y = |x - 2|$.

Из анализа следует, что только второй график правильно изображает функцию $y = |x - 2|$.

Ответ: 2.