Номер 1154, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1154, страница 258.

1154. Какие из функций, заданных формулами сохраняют знак на всей области определения?

$$\begin{gathered} y=x^2, D\left(y\right)=R; x^2\ge 0\text{ при любом }x\in R \\ y=x^2+5; D\left(y\right)=R; x^2+5\ge 0\text{ при любом }x\in R \\ \begin{array}{cll}y=2x+5; D\left(y\right)=R,& 2x+5>0\text{ и }& 2x+5<0\\ & 2x>-5 \\ x>-2,5& 2x<-5 \\ x<-2,5\end{array} \\ \begin{array}{r}y=x^3, D\left(y\right)=R; x^3>0\text{ при }x>0\\ x^3<0\text{ при }x<0\end{array} \\ y=-x^2, D\left(y\right)=R; -x^2\le 0\text{ при любих }x\in R \end{gathered}$$
$y=-x^2-4; D\left(y\right)=R; -x^2-4=-\left(x^2+4\right)<0$$\text{при }x\in R$
$$\begin{gathered} y=\sqrt{x}; D\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }), \sqrt{x}\ge 0\text{ при }x\in D\left(y\right) \\ y=\sqrt{x}+1; D\left(y\right)=[1; +\mathrm{\infty }),\sqrt{x}+1>0\text{ при }x\in D\left(y\right) \\ y=x^4+x^2+6, D\left(y\right)=R \\ {x}^4\ge 0; x^2\ge 0; x^4+x^2\ge 0; x^4+x^2+6\ge 0 \text{при }x\in R \\ \mathbf{\text{Ответ: }}y=x^2; y=x^2+5; y=-x^2; y=-x^2-4; \\ y=\sqrt{x}; y=\sqrt{x}+1; y=x^4+x^2+6 \end{gathered}$$

Чтобы определить, какие из функций сохраняют знак на всей области определения, необходимо проанализировать каждую функцию. Функция сохраняет знак, если на всей своей области определения она принимает значения только одного знака (только положительные, только отрицательные, или неотрицательные/неположительные, включая ноль).

$y = x^2$

Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. То есть, $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Значение функции равно нулю при $x = 0$ и положительно при всех остальных значениях $x$. Следовательно, функция сохраняет знак (неотрицательна) на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^2 + 5$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Все значения функции строго положительны ($y > 0$). Следовательно, функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = 2x + 5$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Это линейная функция. Найдем, при каком $x$ функция обращается в ноль: $2x + 5 = 0 \implies x = -2.5$. При $x > -2.5$ значения функции положительны (например, при $x=0$, $y=5$). При $x < -2.5$ значения функции отрицательны (например, при $x=-3$, $y=-1$). Функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = x^3$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Если $x > 0$, то $y = x^3 > 0$. Если $x < 0$, то $y = x^3 < 0$. Функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = -x^2$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-x^2 \le 0$. Значение функции равно нулю при $x = 0$ и отрицательно при всех остальных значениях $x$. Следовательно, функция сохраняет знак (неположительна) на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = -x^2 - 4$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Следовательно, $-x^2 - 4 \le -4$. Все значения функции строго отрицательны ($y < 0$). Функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x}$

Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Область определения: $[0; +\infty)$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. На всей своей области определения $y = \sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, функция сохраняет знак.

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x} + 1$

Область определения: $x \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то $\sqrt{x} + 1 \ge 1$. Все значения функции строго положительны ($y > 0$). Функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^4 + x^2 + 6$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Рассмотрим слагаемые: $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, так как это четные степени. Следовательно, их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$. Тогда вся функция $y = x^4 + x^2 + 6 \ge 0 + 6 = 6$. Все значения функции строго положительны ($y > 0$). Функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.