Номер 1147, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1147, страница 257.

1147. Функция задана формулой y =1x² + 1. Пересекает ли её график ось x? ось y? В каких координатных четвертях расположен график этой функции?

y=$\frac{1}{x^2+1}\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$

С осью х: y=0; $\frac{1}{x^2+1}\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$=0; нет корней

Значит, нет точек пересечения с осью х.

С осью у: х=0; y=$\frac{1}{0^2+1}\backslash frac\{1\}\{0^2+1\}$ ; y=1

Значит, график функции пересекает ось у в тоже (0;1)

Так как у>0 при любых значениях х, то график расположен в І и II координатных четвертях

Пересекает ли её график ось x?
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью $x$), необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю.
Получаем уравнение:
$y = \frac{1}{x^2 + 1} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Это означает, что график функции не пересекает ось $x$.
Ответ: нет, не пересекает.

ось y?
Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат (осью $y$), необходимо найти значение функции при $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в формулу функции:
$y = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$
Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 1)$.
Ответ: да, пересекает в точке $(0; 1)$.

В каких координатных четвертях расположен график этой функции?
Для определения расположения графика в координатных четвертях проанализируем знаки значений $x$ и $y$.
1. Область определения функции (возможные значения $x$): Знаменатель дроби $x^2 + 1$ никогда не обращается в нуль, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, функция определена для всех действительных значений $x$.
2. Область значений функции (возможные значения $y$): Числитель дроби равен 1 (положительное число). Знаменатель $x^2 + 1$ также всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Таким образом, $y = \frac{1}{x^2 + 1} > 0$ для всех значений $x$.
Координатные четверти, в которых $y > 0$, — это I и II четверти.

• В I четверти $x > 0$ и $y > 0$.
• Во II четверти $x < 0$ и $y > 0$.

Поскольку функция определена как для положительных, так и для отрицательных значений $x$, а значение $y$ всегда положительно, график функции расположен в I и II координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.