Номер 1146, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1146, страница 257.

1146. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна y (см), а расстояние от вершины — x (см). Задайте формулой y как функцию от x. Найдите множество значений этой функции.

Если x - расстояние от вершины B до MN, где $MN\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }ACMN\; ||\; AC$, то $BO\perp MNBO\; \backslash perp\; MN$.

По теореме Пифагора $BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$(см)

$\frac{MN}{AC}=\frac{BO}{BD}$

$\frac{y}{6}=\frac{x}{4}; y=\frac{6x}{4}; y=1,5x$, где 

Ответ: $y=1,5x; E\left(y\right)=\left(0; 6\right)$

Задайте формулой y как функцию от x.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 6$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 5$ см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $H$ — середина $AC$. Следовательно, $AH = HC = AC/2 = 6/2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Пусть $MN$ — подвижный отрезок, параллельный основанию $AC$, где точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Длина этого отрезка равна $y$, то есть $MN = y$.

Расстояние от вершины $B$ до отрезка $MN$ равно $x$. Это расстояние измеряется по высоте. Обозначим точку пересечения высоты $BH$ с отрезком $MN$ как $K$. Тогда $BK = x$.

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. Поскольку $MN || AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот. Высотой в треугольнике $MBN$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BK = x$. Высотой в треугольнике $ABC$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BH = 4$ см.

Составим пропорцию: $\frac{MN}{AC} = \frac{BK}{BH}$

Подставим известные значения и переменные: $\frac{y}{6} = \frac{x}{4}$

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6x}{4} = \frac{3}{2}x = 1.5x$

Ответ: $y = 1.5x$.

Найдите множество значений этой функции.

Множество значений функции $y(x)$ зависит от области определения переменной $x$. Переменная $x$ — это расстояние от вершины $B$ до отрезка $MN$.

Минимальное значение $x$ равно 0. Это происходит, когда отрезок $MN$ "стягивается" в точку в вершине $B$. В этом случае его длина $y$ также равна 0: $y = 1.5 \cdot 0 = 0$.

Максимальное значение $x$ достигается, когда отрезок $MN$ совпадает с основанием $AC$. В этом случае расстояние от вершины $B$ до отрезка равно всей высоте $BH$, то есть $x = 4$ см. При этом длина отрезка $y$ будет равна длине основания $AC$: $y = 1.5 \cdot 4 = 6$ см.

Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения в промежутке от 0 до 4 включительно, то есть $x \in [0, 4]$.

Поскольку функция $y = 1.5x$ является линейной и возрастающей, ее значения будут находиться в промежутке от $y(0)$ до $y(4)$.

При $x=0$, $y=0$.
При $x=4$, $y=6$.

Следовательно, множество значений функции $y$ — это все числа от 0 до 6 включительно.

Ответ: Множество значений функции – это отрезок $[0, 6]$, или $0 \le y \le 6$.