Номер 1144, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1144, страница 257.

1144. Найдите область определения функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{1}{6x}+\frac{1}{6+x} \\ \left\{\begin{array}{l}6x\ne 0\\ 6+x\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -6\right)\cup \left(-6; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;\; -6)\; \backslash cup\; (-6;0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$, т.е. все числа, кроме -6 и 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\sqrt{x}-\sqrt{x-4} \\ \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x-4\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ge 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=[4; +\mathrm{\infty })$, если $x\ge 4x\; \backslash geq\; 4$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}} \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1+\frac{1}{x}\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ \frac{1}{x}\ne -1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -1\right)\cup \left(-1; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;-1)\; \backslash cup\; (-1;0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$, т.е. все числа, кроме -1 и 0

а)

Дана функция $y = \frac{1}{6x} + \frac{1}{6+x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой сумму двух дробей. Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают в ноль знаменатели дробей $6x$ и $6+x$.

1. Знаменатель первой дроби не должен быть равен нулю:

$6x \neq 0$

$x \neq 0$

2. Знаменатель второй дроби также не должен быть равен нулю:

$6+x \neq 0$

$x \neq -6$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-6$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)$

б)

Дана функция $y = \sqrt{x} - \sqrt{x-4}$.

Эта функция содержит квадратные корни. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Следовательно, должны одновременно выполняться два условия, которые составляют систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств: $x \ge 0$ и $x \ge 4$. На числовой оси отмечаем оба решения. Общим решением будет промежуток, где штриховки пересекаются, то есть $x \ge 4$.

Область определения функции — это все действительные числа, большие или равные 4.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$

в)

Дана функция $y = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$.

Эта функция является "многоэтажной" дробью. Мы должны учесть, что все знаменатели в выражении не должны быть равны нулю.

1. Во внутренней дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель $x$ не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

2. Знаменатель основной дроби, выражение $1 + \frac{1}{x}$, также не должен быть равен нулю:

$1 + \frac{1}{x} \neq 0$

Решим это неравенство:

$\frac{1}{x} \neq -1$

Отсюда следует, что $x \neq -1$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ не может быть равен 0 и -1.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$