Номер 1142, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Целая и дробная части числа. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1142, страница 256.

1142. Постройте график функции:

а) y = 2[x];

б) y = [2x];

в) y = –[x].

а) y=2[x]

б) y=[2x]

в) y=-[x]

а) $y = 2[x]$

Функция $[x]$ (целая часть числа $x$ или антье от $x$) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее $x$. График функции $y = [x]$ является ступенчатой функцией. Он состоит из горизонтальных отрезков-ступенек.

Для построения графика функции $y = 2[x]$, мы сначала находим значение $[x]$, а затем умножаем его на 2. Это соответствует преобразованию графика функции $y = [x]$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза.

Рассмотрим поведение функции на нескольких целочисленных промежутках:

• Если $-2 \le x < -1$, то $[x] = -2$, и $y = 2 \cdot (-2) = -4$.
• Если $-1 \le x < 0$, то $[x] = -1$, и $y = 2 \cdot (-1) = -2$.
• Если $0 \le x < 1$, то $[x] = 0$, и $y = 2 \cdot 0 = 0$.
• Если $1 \le x < 2$, то $[x] = 1$, и $y = 2 \cdot 1 = 2$.
• Если $2 \le x < 3$, то $[x] = 2$, и $y = 2 \cdot 2 = 4$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $[x] = n$, и $y = 2n$.

График представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. Каждый отрезок расположен на промежутке $[n, n+1)$ по оси $Ox$ и на высоте $y=2n$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(n, 2n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $(n+1, 2n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y = 2[x]$ — это ступенчатая функция, состоящая из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=2n$. Левая точка отрезка $(n, 2n)$ включена, правая точка $(n+1, 2n)$ исключена.

б) $y = [2x]$

Для построения графика этой функции, мы сначала умножаем аргумент $x$ на 2, а затем берем целую часть от полученного значения. Это преобразование соответствует сжатию графика функции $y = [x]$ вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза.

Значение функции меняется, когда выражение $2x$ становится равным целому числу. Пусть $2x=n$, где $n$ — целое число. Тогда $x = n/2$. Это означает, что "ступеньки" графика будут иметь длину $1/2$.

Рассмотрим поведение функции на промежутках длиной $1/2$:

• Если $-1 \le x < -0.5$, то $-2 \le 2x < -1$, и $y = [2x] = -2$.
• Если $-0.5 \le x < 0$, то $-1 \le 2x < 0$, и $y = [2x] = -1$.
• Если $0 \le x < 0.5$, то $0 \le 2x < 1$, и $y = [2x] = 0$.
• Если $0.5 \le x < 1$, то $1 \le 2x < 2$, и $y = [2x] = 1$.
• Если $1 \le x < 1.5$, то $2 \le 2x < 3$, и $y = [2x] = 2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n/2, (n+1)/2)$, то $2x \in [n, n+1)$, и $y = [2x] = n$.

График представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. Каждый отрезок расположен на промежутке $[n/2, (n+1)/2)$ по оси $Ox$ и на высоте $y=n$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(n/2, n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $((n+1)/2, n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y = [2x]$ — это ступенчатая функция, состоящая из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n/2, (n+1)/2)$ график представляет собой отрезок прямой $y=n$. Левая точка отрезка $(n/2, n)$ включена, правая точка $((n+1)/2, n)$ исключена. Длина каждой ступеньки равна $0.5$.

в) $y = -[x]$

Для построения графика функции $y = -[x]$, мы сначала находим значение $[x]$, а затем берем его с противоположным знаком. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика функции $y = [x]$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

Рассмотрим поведение функции на нескольких целочисленных промежутках:

• Если $-2 \le x < -1$, то $[x] = -2$, и $y = -(-2) = 2$.
• Если $-1 \le x < 0$, то $[x] = -1$, и $y = -(-1) = 1$.
• Если $0 \le x < 1$, то $[x] = 0$, и $y = -0 = 0$.
• Если $1 \le x < 2$, то $[x] = 1$, и $y = -1$.
• Если $2 \le x < 3$, то $[x] = 2$, и $y = -2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $[x] = n$, и $y = -n$.

График представляет собой совокупность горизонтальных отрезков, "спускающихся" вниз при увеличении $x$. Каждый отрезок расположен на промежутке $[n, n+1)$ по оси $Ox$ и на высоте $y=-n$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(n, -n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $(n+1, -n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y = -[x]$ — это ступенчатая функция, состоящая из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=-n$. Левая точка отрезка $(n, -n)$ включена, правая точка $(n+1, -n)$ исключена.