Номер 3, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 3, страница 255.

3. Как изменяется на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞) и функция у = kx? Рассмотрите случаи k > 0 и k ‹ 0.

4. Функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ при $k>0k\; >\; 0$ принимает отрицательные значения на промежутке $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$ и положительные значения на промежутке $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$.

Функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ при принимает отрицательные значения на промежутке $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$ и положительные значения на промежутке $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$.

5. При $k>0k\; >\; 0$ функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ является убывающей на каждом из промежутков $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$ и $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$. При функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ является возрастающей на каждом из этих промежутков

Для того чтобы определить, как изменяется функция $y = \frac{k}{x}$ на заданных промежутках, мы исследуем её на монотонность. Монотонность функции (возрастание или убывание) можно определить по знаку её производной.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (\frac{k}{x})' = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Следовательно, знак производной $y'$ полностью определяется знаком выражения $-k$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака коэффициента $k$.

Случай $k > 0$

Если коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то выражение $-k$ будет отрицательным ($-k < 0$).

Следовательно, производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ будет отрицательной на всей области определения, так как мы делим отрицательное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y' < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $x \in (0; +\infty)$.

Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Таким образом, функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: При $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

Случай $k < 0$

Если коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), то выражение $-k$ будет положительным ($-k > 0$).

Следовательно, производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ будет положительной на всей области определения, так как мы делим положительное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y' > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $x \in (0; +\infty)$.

Если производная функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Таким образом, функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: При $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.