Номер 1132, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1132, страница 254.

1132. Изобразите схематически в одной системе координат графики функции у = 1x и у = 2x. Имеют ли эти графики общие точки? Обоснуйте свой ответ алгебраически.

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{x} y=\frac{2}{x} \\ \frac{1}{x}=\frac{2}{x} \\ \frac{1}{x}-\frac{2}{x}=0 \\ -\frac{1}{x}=0 \end{gathered}$$

Ответ: общих точек нет

Изобразите схематически в одной системе координат графики функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{2}{x}$

Обе функции имеют вид $y = \frac{k}{x}$ и являются обратной пропорциональностью. Их графики — гиперболы.

1. Для функции $y = \frac{1}{x}$ коэффициент $k=1$, то есть $k>0$. Это означает, что ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. Для функции $y = \frac{2}{x}$ коэффициент $k=2$, то есть $k>0$. Ветви этой гиперболы также расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат также являются асимптотами.

Для схематического построения графиков найдем координаты нескольких точек для каждой функции:
Для $y = \frac{1}{x}$:
если $x = 1$, то $y = 1$;
если $x = 2$, то $y = 0.5$;
если $x = 0.5$, то $y = 2$;
если $x = -1$, то $y = -1$;
если $x = -2$, то $y = -0.5$.

Для $y = \frac{2}{x}$:
если $x = 1$, то $y = 2$;
если $x = 2$, то $y = 1$;
если $x = 0.5$, то $y = 4$;
если $x = -1$, то $y = -2$;
если $x = -2$, то $y = -1$.

Сравнивая значения функций, можно заметить, что для любого $x$ из области определения, значение функции $y = \frac{2}{x}$ в два раза больше значения функции $y = \frac{1}{x}$. Следовательно, график функции $y = \frac{2}{x}$ расположен дальше от оси абсцисс, чем график $y = \frac{1}{x}$.

Ответ: Графики обеих функций представляют собой гиперболы, ветви которых находятся в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для обоих графиков. При одинаковых значениях абсциссы ($x$) ордината ($y$) графика функции $y = \frac{2}{x}$ в два раза больше, чем у графика $y = \frac{1}{x}$, поэтому его ветви расположены дальше от осей координат.

Имеют ли эти графики общие точки? Обоснуйте свой ответ алгебраически.

Чтобы определить, имеют ли графики общие точки, нужно выяснить, существуют ли такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Для этого решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ y = \frac{2}{x} \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$ \frac{1}{x} = \frac{2}{x} $

Область допустимых значений для этого уравнения — все действительные числа, кроме $x = 0$. Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):

$ x \cdot \frac{1}{x} = x \cdot \frac{2}{x} $

$ 1 = 2 $

Полученное равенство $1=2$ является ложным при любых значениях $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, система уравнений также не имеет решений.

Ответ: Нет, графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{2}{x}$ не имеют общих точек, поскольку система уравнений, составленная из них, не имеет решений.