Номер 1129, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1129, страница 254.

1129. Постройте в одной системе координат графики функций у = x и у = x.

а) Укажите координаты их общих точек.

б) При каких значениях x график функции у = x расположен выше прямой у = x и при каких значениях х он расположен ниже этой прямой?

a) (0;0) и (1;1)

б) при 0<x<1 график функции $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$ расположен выше прямой y=x; при x>1 график функции $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$ расположен ниже прямой y=x

Сначала построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ в одной системе координат.

График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в I координатном угле. Область определения функции: $x \ge 0$. Составим таблицу значений для построения:

• при $x=0$, $y=0$ > точка $(0, 0)$;
• при $x=1$, $y=1$ > точка $(1, 1)$;
• при $x=4$, $y=2$ > точка $(4, 2)$;
• при $x=9$, $y=3$ > точка $(9, 3)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = \sqrt{x}$. На координатной плоскости видно, что графики пересекаются, причем на одном участке график $y = \sqrt{x}$ находится выше прямой $y=x$, а на другом — ниже.

а) Укажите координаты их общих точек.

Для нахождения координат общих точек графиков необходимо решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x} = x $$ Данное уравнение определено при $x \ge 0$. Для его решения возведем обе части в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = x^2 $$ $$ x = x^2 $$ Перенесем все в левую часть и решим уравнение: $$ x^2 - x = 0 $$ $$ x(x - 1) = 0 $$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений (например, $y=x$):

• При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$. Координаты первой общей точки $(0, 0)$.
• При $x_2 = 1$, $y_2 = 1$. Координаты второй общей точки $(1, 1)$.

Ответ: общие точки имеют координаты $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) При каких значениях x график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = x$ и при каких значениях x он расположен ниже этой прямой?

1. Чтобы определить, когда график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y=x$, нужно решить неравенство: $$ \sqrt{x} > x $$ Из анализа графика и точек пересечения $(0,0)$ и $(1,1)$ видно, что это неравенство выполняется на интервале между точками пересечения. Проверим это, взяв любое число из интервала $(0, 1)$, например, $x=0.25$: $$ \sqrt{0.25} > 0.25 $$ $$ 0.5 > 0.25 $$ Неравенство верно. Следовательно, график $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = x$ при $x \in (0, 1)$.

2. Чтобы определить, когда график функции $y = \sqrt{x}$ расположен ниже прямой $y=x$, нужно решить неравенство: $$ \sqrt{x} < x $$ Это неравенство будет выполняться для значений $x$, которые больше абсциссы второй точки пересечения. Проверим это, взяв любое число из интервала $(1, +\infty)$, например, $x=4$: $$ \sqrt{4} < 4 $$ $$ 2 < 4 $$ Неравенство верно. Следовательно, график $y = \sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y = x$ при $x > 1$.

Ответ: график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = x$ при $x \in (0, 1)$, и расположен ниже этой прямой при $x \in (1, +\infty)$.