Номер 1122, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1122, страница 251.

1122. Функция задана формулой у = kх + b, где k и b — некоторые числа. Покажите схематически, как располагается график в координатной плоскости, если:

$y=kx+by=kx+b$

a) k>0, b>0

б) k<0, b>0

в) k<0, b=0

г) k<0, b<0

д) k=0, b<0

Функция, заданная формулой $y = kx + b$, представляет собой линейную функцию, графиком которой является прямая линия. Положение этой прямой на координатной плоскости зависит от знаков коэффициентов $k$ и $b$.

• Коэффициент $k$ — это угловой коэффициент, который определяет наклон прямой.
  • Если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо), и угол наклона к положительному направлению оси Ox — острый.
  • Если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз слева направо), и угол наклона к положительному направлению оси Ox — тупой.
  • Если $k = 0$, то функция имеет вид $y = b$, и ее график — прямая, параллельная оси Ox.
• Коэффициент $b$ — это свободный член, который показывает точку пересечения графика с осью Oy.
  • Если $b > 0$, прямая пересекает ось Oy выше начала координат в точке $(0, b)$.
  • Если $b < 0$, прямая пересекает ось Oy ниже начала координат в точке $(0, b)$.
  • Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат $(0, 0)$.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

а) $k > 0, b > 0$

Так как $k > 0$, функция возрастает. Поскольку $b > 0$, график пересекает ось ординат (Oy) в точке выше начала координат. Возрастающая прямая, пересекающая ось Oy в положительной части, обязательно будет пересекать ось абсцисс (Ox) в отрицательной части. Точка пересечения с осью Ox находится из условия $y=0$, то есть $kx+b=0$, откуда $x = -b/k$. При $k > 0$ и $b > 0$, значение $x$ будет отрицательным. Следовательно, график проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График — возрастающая прямая, проходящая через I, II и III координатные четверти.

б) $k < 0, b > 0$

Так как $k < 0$, функция убывает. Поскольку $b > 0$, график пересекает ось Oy выше начала координат. Убывающая прямая, пересекающая ось Oy в положительной части, будет пересекать ось Ox в положительной части. Точка пересечения с осью Ox: $x = -b/k$. При $k < 0$ и $b > 0$, значение $x$ будет положительным. Следовательно, график проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График — убывающая прямая, проходящая через I, II и IV координатные четверти.

в) $k < 0, b = 0$

Так как $k < 0$, функция убывает. Поскольку $b = 0$, формула принимает вид $y = kx$. Это прямая пропорциональность, график которой всегда проходит через начало координат $(0, 0)$. Убывающая прямая, проходящая через начало координат, располагается во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График — убывающая прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

г) $k < 0, b < 0$

Так как $k < 0$, функция убывает. Поскольку $b < 0$, график пересекает ось Oy ниже начала координат. Убывающая прямая, пересекающая ось Oy в отрицательной части, будет пересекать ось Ox в отрицательной части. Точка пересечения с осью Ox: $x = -b/k$. При $k < 0$ и $b < 0$, значение $x$ будет отрицательным. Следовательно, график проходит через II, III и IV координатные четверти.

Ответ: График — убывающая прямая, проходящая через II, III и IV координатные четверти.

д) $k = 0, b < 0$

Так как $k = 0$, формула функции упрощается до $y = b$. Это означает, что для любого значения $x$, значение $y$ постоянно и равно $b$. Поскольку $b < 0$, это постоянное значение отрицательно. График такой функции — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, b)$, то есть расположенная ниже оси Ox. Такая прямая целиком находится в III и IV координатных четвертях.

Ответ: График — прямая, параллельная оси Ox, расположенная ниже нее и проходящая через III и IV координатные четверти.