Номер 1121, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1121, страница 251.

1121. Линейная функция задана формулой у = kх + 10, где k — некоторое число. В каких координатных четвертях расположен график этой функции, если известно, что:

а) k > 0;

б) k ‹ 0;

в) k = 0?

y=kx+10

a) k>0

Ответ: І, ІІ, ІІІ

б) k<0

Ответ: І, ІІ, IV

в) k=0

Ответ: І, ІІ

График линейной функции $y = kx + b$ — это прямая линия. В нашем случае функция задана формулой $y = kx + 10$, следовательно, коэффициент $b = 10$.

Коэффициент $b$ определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Так как $b = 10 > 0$, график функции пересекает ось $y$ в точке $(0, 10)$. Эта точка лежит на положительной части оси $y$, то есть выше оси абсцисс (оси $x$).

Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Знак коэффициента $k$ показывает, возрастает или убывает функция.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $k > 0$;

Если $k > 0$, то функция является возрастающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Прямая "поднимается" слева направо. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$), для этого приравняем $y$ к нулю: $kx + 10 = 0$ $kx = -10$ $x = -10/k$ Поскольку $k > 0$, значение $x = -10/k$ будет отрицательным. Таким образом, график пересекает ось $x$ в точке с отрицательной абсциссой. Итак, график проходит через точку $(0, 10)$ на положительной части оси $y$ и через точку $(-10/k, 0)$ на отрицательной части оси $x$. Прямая, соединяющая эти точки, будет проходить через:

• II координатную четверть (где $x < 0, y > 0$);
• I координатную четверть (где $x > 0, y > 0$);
• III координатную четверть (где $x < 0, y < 0$).

График не заходит в IV четверть, так как для всех $x > 0$ значение $y = kx + 10$ будет больше 10, то есть положительным.
Ответ: I, II и III координатные четверти.

б) $k < 0$;

Если $k < 0$, то функция является убывающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Прямая "опускается" слева направо. Точка пересечения с осью $y$ остается прежней: $(0, 10)$. Найдем точку пересечения с осью $x$: $kx + 10 = 0$ $x = -10/k$ Поскольку $k < 0$, значение $x = -10/k$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел). Таким образом, график пересекает ось $x$ в точке с положительной абсциссой. Итак, график проходит через точку $(0, 10)$ на положительной части оси $y$ и через точку $(-10/k, 0)$ на положительной части оси $x$. Прямая, соединяющая эти точки, будет проходить через:

• II координатную четверть (где $x < 0, y > 0$);
• I координатную четверть (где $x > 0, y > 0$);
• IV координатную четверть (где $x > 0, y < 0$).

График не заходит в III четверть, так как для всех $x < 0$ значение $y = kx + 10$ будет больше 10, то есть положительным.
Ответ: I, II и IV координатные четверти.

в) $k = 0$?

Если $k = 0$, то формула функции принимает вид $y = 0 \cdot x + 10$, то есть $y = 10$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату $y$), равную 10. Поскольку значение $y$ всегда равно 10 (положительное число), график функции полностью расположен выше оси $x$.

• Когда $x > 0$, точки графика находятся в I координатной четверти.
• Когда $x < 0$, точки графика находятся во II координатной четверти.

График не пересекает ось $x$ и не заходит в III и IV четверти, где $y < 0$.
Ответ: I и II координатные четверти.