Номер 1115, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1115, страница 250.

1115. Постройте график функции: а) y = 1,6x; б) y = –0,4x. Перечислите свойства функции y = kx при k > 0 и при k ‹ 0.

a) y=1,6x

1. D(y)=R

2. E(y)=R

3. у=0 при х=0

4. у<0 при x∈(-∞;0)

у>0 при x∈(0;+∞)

5. Т.к. k>0, то функция возрастает

б) y=-0,4x

1. D(y)=R,

2. E(y)=R

3. у=0 при x=0

4. у<0 при x∈(0;+∞)

у>0 при x∈(-∞;0)

5. Т.к. k<0, то функция убывает

а)

Чтобы построить график функции $y = 1,6x$, нужно найти координаты двух точек, так как график этой функции — прямая линия.
1. Функция вида $y = kx$ всегда проходит через начало координат. Следовательно, первая точка — (0; 0).
2. Для нахождения второй точки выберем произвольное значение $x$. Для удобства расчетов возьмем $x = 5$.
Тогда $y = 1,6 \cdot 5 = 8$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты (5; 8).
Соединив точки (0; 0) и (5; 8) прямой линией, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y=1,6x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (5; 8).

б)

График функции $y = -0,4x$ также является прямой линией, проходящей через начало координат (0; 0).
1. Первая точка — (0; 0).
2. Для нахождения второй точки выберем произвольное значение $x$. Например, пусть $x = 5$.
Тогда $y = -0,4 \cdot 5 = -2$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты (5; -2).
Проведя прямую через точки (0; 0) и (5; -2), мы получим график функции $y = -0,4x$.

Ответ: График функции $y=-0,4x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (5; -2).

Свойства функции $y = kx$

Функция $y = kx$ (прямая пропорциональность) обладает следующими свойствами, которые зависят от знака коэффициента $k$.

При $k > 0$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: прямая, проходящая через начало координат.
• Расположение графика: I и III координатные четверти.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Четность: функция является нечетной ($y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$), её график симметричен относительно начала координат.

При $k < 0$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: прямая, проходящая через начало координат.
• Расположение графика: II и IV координатные четверти.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.
• Четность: функция является нечетной ($y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$), её график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Свойства функции $y=kx$ зависят от знака коэффициента $k$. При $k > 0$ функция возрастает и ее график лежит в I и III четвертях. При $k < 0$ функция убывает и ее график лежит во II и IV четвертях. Общие свойства для обоих случаев: область определения и область значений — все действительные числа, график — прямая, проходящая через начало координат, функция является нечетной.