Номер 1, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1, страница 249.

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения и множеством значений функции?

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Область определения функции принято обозначать символом D(f), а множество значений функции - символом E(f).

Определение функции

Функцией (или функциональной зависимостью) называется такое правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Говоря проще, функция — это «машина», которая берет на вход число (аргумент) и выдает на выходе одно-единственное другое число (значение функции).

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом. Переменную $y$ называют зависимой переменной или значением функции. Функциональную зависимость принято обозначать буквой $f$ (а также $g$, $h$ и другими). Запись $y = f(x)$ читается как «игрек равен эф от икс» и означает, что переменная $y$ зависит от переменной $x$ по правилу $f$.

Ответ: Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной.

Область определения функции

Областью определения функции $y = f(x)$ называется множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл (определено). Иными словами, это все те значения $x$, которые можно подставить в функцию, чтобы получить осмысленный результат.

Область определения обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$. Нахождение области определения функции сводится к поиску значений $x$, для которых выполняются все математические операции в формуле. Основные ограничения в школьном курсе математики:

1. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Пример: для функции $y = \frac{1}{x-2}$ должно выполняться условие $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Выражение под знаком квадратного корня (или корня четной степени) должно быть неотрицательным.
Пример: для функции $y = \sqrt{x-5}$ должно выполняться условие $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Область определения: $D(y) = [5; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Множество значений функции

Множеством (или областью) значений функции $y = f(x)$ называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, когда аргумент $x$ пробегает всю область определения функции.

Множество значений обычно обозначается как $E(f)$ или $E(y)$. Чтобы найти множество значений, нужно определить, какие значения может принимать $y$.

Пример 1: для функции $y = x^2$. Область определения — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), переменная $y$ может принимать любые значения от 0 включительно и выше. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Пример 2: для функции $y = \sin(x)$. Область определения — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Из определения синуса известно, что его значения всегда лежат в промежутке от -1 до 1. Множество значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Ответ: Множество значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$.