Номер 1108, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1108. Укажите область определения и найдите нули функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5} \\ \left\{\begin{array}{c}x+6\ge 0\\ x+5\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ge -6\\ x\ne -5\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} D\left(y\right)=[-6;-5)\cup \left(-5; +\mathrm{\infty }\right) \\ \frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5}=0 /·\left(x+5\right) \\ x-\sqrt{x+6}=0 \\ x=\sqrt{x+6} \\ {x}^2=x+6 \\ {x}^2-x-6=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)=1+24=25 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{1\pm 5}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-2 \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=[-6; -5)\cup \left(-5; +\mathrm{\infty }\right); -2 \text{и} 3$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}} \\ \left\{\begin{array}{l}10-6x\ge 0\\ 2x-\sqrt{10-6x}\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x\le 10\\ 2x\ne \sqrt{10-6x}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{10}{6}\\ 4x^2\ne 10-6x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \frac{5}{3}\\ 4x^2+6x-10\ne 0\end{array}\right. \\ 4x^2+6x-10=0\mathrm{/}:2 \\ 2x^2+3x-5=0 \\ D=3^2-4·2·\left(-5\right)=9+40=49 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{4}; x=\frac{-3\pm 7}{4} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}=-\mathrm{2,5} \\ \left\{\begin{array}{l}x\le 1\frac{2}{3}\\ x\ne 1\text{ и }x\ne -2,5\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -2,5\right)\cup (-2,5; 1)\cup (1; 1\frac{2}{3}] \\ \frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}=0 \\ 4x^2+25x=0 \\ x\left(4x+25\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 4x+25=0\\ & & 4x=-25\\ & & x=-\frac{25}{4}\\ & & x=-6,25\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -2,5\right)\cup \left(-2,5; 1\right)\cup (1; 1\frac{2}{3}];$ $-6,25 \text{и} 0$

а) $y = \frac{x - \sqrt{x + 6}}{x + 5}$

1. Найдем область определения функции $D(y)$.
Область определения функции задается системой неравенств, вытекающих из ограничений на переменные:
1) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 6 \geq 0$, что дает $x \geq -6$.
2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 5 \neq 0$, что дает $x \neq -5$.
Совмещая оба условия, получаем, что область определения функции D(y) это все числа $x$, такие что $x \geq -6$ и $x \neq -5$.
В виде интервала это записывается как $D(y) = [-6, -5) \cup (-5, +\infty)$.

2. Найдем нули функции.
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x - \sqrt{x + 6} = 0$
$x = \sqrt{x + 6}$
Поскольку арифметический квадратный корень (правая часть) всегда неотрицателен, левая часть также должна быть неотрицательной, то есть $x \geq 0$. Это является условием для отбора корней.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$x^2 = (\sqrt{x + 6})^2$
$x^2 = x + 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x \geq 0$.
- Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \geq 0$).
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), следовательно, это посторонний корень.
Единственный корень уравнения — $x = 3$. Это значение входит в область определения функции, так как $3 \in [-6, -5) \cup (-5, +\infty)$.
Следовательно, у функции один нуль.

Ответ: область определения: $x \in [-6, -5) \cup (-5, +\infty)$; нули функции: $x = 3$.

б) $y = \frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10 - 6x}}$

1. Найдем область определения функции $D(y)$.
Функция определена при выполнении следующих условий:
1) Поражение под корнем неотрицательно: $10 - 6x \geq 0 \implies 10 \geq 6x \implies x \leq \frac{10}{6} \implies x \leq \frac{5}{3}$.
2) Знаменатель не равен нулю: $2x - \sqrt{10 - 6x} \neq 0$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, чтобы исключить их.
$2x = \sqrt{10 - 6x}$
Для равенства необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $2x \geq 0 \implies x \geq 0$.
При этом условии возведем обе части в квадрат:
$(2x)^2 = 10 - 6x$
$4x^2 + 6x - 10 = 0$
Разделим уравнение на 2: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Найдем корни через дискриминант: $D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5$.
Проверим корни на соответствие условию $x \geq 0$:
- $x_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \geq 0$).
- $x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию ($-2.5 < 0$).
Таким образом, знаменатель равен нулю только при $x = 1$. Это значение нужно исключить.
Объединяя условия $x \leq \frac{5}{3}$ и $x \neq 1$, получаем область определения: $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$.

2. Найдем нули функции.
Нули функции соответствуют значениям $x$, при которых $y = 0$. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$4x^2 + 25x = 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(4x + 25) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $4x + 25 = 0 \implies 4x = -25 \implies x_2 = -\frac{25}{4} = -6.25$.
Проверим, принадлежат ли эти значения области определения $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$:
- $x_1 = 0$ принадлежит области определения, так как $0 \in (-\infty, 1)$.
- $x_2 = -6.25$ принадлежит области определения, так как $-6.25 \in (-\infty, 1)$.
Оба значения являются нулями функции.

Ответ: область определения: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$; нули функции: $x = -6.25, x = 0$.