Номер 1101, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1101, страница 246.

1101. Перечислите свойства функции y = g(x), где –5 ≤ x ≤ 5, график которой изображён на рисунке 65.

$y=g\left(x\right)y=g(x)$, где $-5\le x\le 5-5\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 5$

1) $D\left(g\right)=[-5; 5]D(g)=[-5;5]$

2) $E\left(g\right)=[-4; 6]E(g)=[-4;6]$

3) $y=0y=0$ при $x=-3x=-3$

4) функция возрастает на промежутках $[-5; 0][-5;0]$ и $[2; 5][2;5]$

Функция убывает на промежутке $[0; 2][0;2]$

5) $y>0y>0$ при $x\in (-3; 5]$

$y<0$ при $x\in [-5; -3)$

6) Наименьшее значение функции $g\left(-5\right)=-4g(-5)=-4$; наибольшее значение функции $g\left(5\right)=6g(5)=6$

1. Область определения функции. Область определения — это множество всех значений аргумента $x$, на котором задана функция. По условию задачи и графику функция определена на отрезке от -5 до 5. Ответ: $D(g) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции. Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $g(x)$. На графике видно, что наименьшее значение функции равно -4 (достигается при $x = -5$), а наибольшее значение равно 6 (достигается при $x = 5$). Ответ: $E(g) = [-4; 6]$.

3. Нули функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($g(x)=0$). Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в трех точках. Ответ: $g(x)=0$ при $x \approx -3.5$, $x \approx -1.5$ и $x = 1$.

4. Промежутки знакопостоянства. Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, то есть является либо положительной ($g(x) > 0$), либо отрицательной ($g(x) < 0$). Функция положительна, когда ее график находится выше оси $Ox$, и отрицательна, когда ниже. Ответ: $g(x) > 0$ при $x \in (-3.5; -1.5) \cup (1; 5]$; $g(x) < 0$ при $x \in [-5; -3.5) \cup (-1.5; 1)$.

5. Промежутки монотонности. Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает. Функция возрастает, если с увеличением $x$ значения $g(x)$ также увеличиваются (график идет вверх). Функция убывает, если с увеличением $x$ значения $g(x)$ уменьшаются (график идет вниз). Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; 0]$ и $[2; 5]$; функция убывает на промежутке $[0; 2]$.

6. Точки экстремума. Это точки локального (местного) максимума и минимума. Точка максимума — это точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием. Точка минимума — точка, в которой убывание сменяется возрастанием. Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$ (значение в максимуме $g(0)=3$), точка минимума $x_{min} = 2$ (значение в минимуме $g(2)=1$).

7. Наибольшее и наименьшее значения функции. Это глобальные максимум и минимум функции на всей ее области определения. Их следует искать среди значений в точках экстремума и на концах отрезка. Сравниваем значения: $g(-5) = -4$ (на конце отрезка), $g(0) = 3$ (локальный максимум), $g(2) = 1$ (локальный минимум), $g(5) = 6$ (на конце отрезка). Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = g(5) = 6$; наименьшее значение функции $y_{наим} = g(-5) = -4$.

8. Четность. Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$), то есть выполняется равенство $g(-x)=g(x)$. Функция является нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат, то есть $g(-x)=-g(x)$. График данной функции не обладает ни одним из этих видов симметрии. Например, $g(2)=1$, а $g(-2)=0$, что нарушает оба условия. Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

9. Непрерывность. Функция называется непрерывной на промежутке, если ее график на этом промежутке является сплошной линией без разрывов. Ответ: функция непрерывна на всей области определения $[-5; 5]$.