Номер 1104, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1104, страница 247.

1104. Начертите график какой-либо функции с областью определения [–3; 4] так, что бы эта функция:

а) возрастала на промежутке [–3; 0] и убывала на промежутке [0; 4];

б) убывала на промежутке [–3; 1] и возрастала на промежутке [1; 4].

D(f)=[-3;4]

а) функция возрастала на промежутке [-3;0] и убывала на промежутке [0;4]

б) убывала на промежутке [-3;1] и возрастала на промежутке [1;4]

а)

Требуется начертить график функции, которая определена на отрезке $[-3; 4]$, возрастает на промежутке $[-3; 0]$ и убывает на промежутке $[0; 4]$.

Из заданных условий следует, что в точке $x=0$ функция достигает своего максимума. В качестве примера такой функции можно выбрать квадратичную функцию, график которой является параболой. Для выполнения условий, ветви параболы должны быть направлены вниз, а её вершина должна находиться в точке с абсциссой $x=0$.

Общий вид уравнения такой параболы: $y = -ax^2 + c$, где $a > 0$. Для простоты выберем коэффициенты $a=1$ и $c=2$. Таким образом, мы получаем функцию $y = -x^2 + 2$, определённую на отрезке $[-3; 4]$.

Чтобы убедиться, что эта функция подходит, проверим её поведение с помощью производной: $y' = (-x^2 + 2)' = -2x$.
- На промежутке $[-3; 0]$ производная $y' = -2x \ge 0$, следовательно, функция возрастает.
- На промежутке $[0; 4]$ производная $y' = -2x \le 0$, следовательно, функция убывает.
Оба условия выполнены.

Для построения графика найдём значения функции в ключевых точках: на границах области определения и в точке максимума.
- На левой границе при $x=-3$: $y(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$. Координаты точки $(-3, -7)$.
- В точке максимума при $x=0$: $y(0) = -(0)^2 + 2 = 2$. Координаты вершины $(0, 2)$.
- На правой границе при $x=4$: $y(4) = -(4)^2 + 2 = -16 + 2 = -14$. Координаты точки $(4, -14)$.

График этой функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, -7)$, плавно поднимается до своей вершины в точке $(0, 2)$, а затем плавно опускается до точки $(4, -14)$.

Ответ: Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y = -x^2 + 2$ на отрезке $[-3; 4]$. Её график — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 2)$, которая возрастает на $[-3; 0]$ и убывает на $[0; 4]$.

б)

Требуется начертить график функции, которая определена на отрезке $[-3; 4]$, убывает на промежутке $[-3; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; 4]$.

Из заданных условий следует, что в точке $x=1$ функция достигает своего минимума. Как и в предыдущем пункте, в качестве примера можно использовать квадратичную функцию. В этом случае ветви параболы должны быть направлены вверх, а её вершина должна находиться в точке с абсциссой $x=1$.

Общий вид уравнения такой параболы: $y = a(x-1)^2 + c$, где $a > 0$. Для простоты выберем коэффициенты $a=1$ и $c=-1$. Таким образом, мы получаем функцию $y = (x-1)^2 - 1$, определённую на отрезке $[-3; 4]$.

Проверим поведение этой функции с помощью производной: $y' = ((x-1)^2 - 1)' = 2(x-1)$.
- На промежутке $[-3; 1]$ производная $y' = 2(x-1) \le 0$, следовательно, функция убывает.
- На промежутке $[1; 4]$ производная $y' = 2(x-1) \ge 0$, следовательно, функция возрастает.
Оба условия выполнены.

Для построения графика найдём значения функции в ключевых точках: на границах области определения и в точке минимума.
- На левой границе при $x=-3$: $y(-3) = (-3-1)^2 - 1 = (-4)^2 - 1 = 16 - 1 = 15$. Координаты точки $(-3, 15)$.
- В точке минимума при $x=1$: $y(1) = (1-1)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$. Координаты вершины $(1, -1)$.
- На правой границе при $x=4$: $y(4) = (4-1)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Координаты точки $(4, 8)$.

График этой функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, 15)$, плавно опускается до своей вершины в точке $(1, -1)$, а затем плавно поднимается до точки $(4, 8)$.

Ответ: Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y = (x-1)^2 - 1$ на отрезке $[-3; 4]$. Её график — это часть параболы с вершиной в точке $(1, -1)$, которая убывает на $[-3; 1]$ и возрастает на $[1; 4]$.