Номер 1100, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1100, страница 246.

1100. (Для работы в парах.) На рисунке 64 изображён график функции y = f(x), где –7 ≤ x ≤ 5. Укажите:

а) нули функции;

б) промежутки, на которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);

в) промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых она убывает;

г) наибольшее и наименьшее значения функции.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните, как вы рассуждали при выполнении задания.

3) Исправьте допущенные ошибки, если они обнаружатся.

y=f(x), где -7≤x≤5

а) y=0 при x=-5; x=-3; x=1; x=4

б) у>0 при x ∈ [-7;-5), (-3; 1); [4;5]

y<0 при x ∈ (-5;-3); (1;4)

в) функция возрастает на промежутках [-4;-1] и [2;5]

Функция убывает на промежутках [-7;-4] и [-1;2]

г) наибольшее значение функции у=6;

Наименьшее значение функции y=-4

а) нули функции;
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. Геометрически это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$).
Из графика видно, что кривая $y = f(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами -6, -2, 2 и 5.
Ответ: нули функции: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$, $x_4 = 5$.

б) промежутки, на которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);
Промежутки знакопостоянства – это интервалы оси $x$, на которых функция сохраняет свой знак.
1. Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси абсцисс. Это происходит на следующих промежутках: от $x = -6$ до $x = -2$ и от $x = 2$ до $x = 5$.
2. Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси абсцисс. Это происходит на следующих промежутках: от $x = -7$ до $x = -6$ и от $x = -2$ до $x = 2$.
Ответ: функция положительна ($f(x)>0$) при $x \in (-6; -2) \cup (2; 5)$; функция отрицательна ($f(x)<0$) при $x \in [-7; -6) \cup (-2; 2)$.

в) промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых она убывает;
1. Функция возрастает на тех промежутках, где при движении по графику слева направо он идет вверх. Точками смены убывания на возрастание являются точки локального минимума.
Из графика видно, что функция возрастает на промежутках от $x = -4$ до $x = 0$ и от $x = 3$ до $x = 5$.
2. Функция убывает на тех промежутках, где при движении по графику слева направо он идет вниз. Точками смены возрастания на убывание являются точки локального максимума.
Из графика видно, что функция убывает на промежутках от $x = -7$ до $x = -4$ и от $x = 0$ до $x = 3$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; 0]$ и $[3; 5]$; функция убывает на промежутках $[-7; -4]$ и $[0; 3]$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[-7; 5]$ — это соответственно ординаты самой высокой и самой низкой точек графика на этом отрезке. Их следует искать среди значений функции на концах отрезка и в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов).
Значения в точках экстремума:

• Локальный максимум в точке $x = 0$, значение $f(0) = 4$.
• Локальный минимум в точке $x = -4$, значение $f(-4) = -2$.
• Локальный минимум в точке $x = 3$, значение $f(3) = -4$.

Значения на концах отрезка:

• На левом конце: $f(-7) \approx 2.5$.
• На правом конце: $f(5) = 0$.

Сравнивая все эти значения ($2.5, -2, 4, -4, 0$), находим, что:
- Наибольшее значение функции равно 4.
- Наименьшее значение функции равно -4.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-7; 5]$ равно $y_{наиб.} = 4$ (достигается при $x=0$); наименьшее значение функции равно $y_{наим.} = -4$ (достигается при $x=3$).