Страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1098. На рисунке 62 изображён график температуры воды в сосуде. Опишите, как изменялась температура, и укажите промежуток времени, в течение которого проводилось наблюдение. Каково было наибольшее значение температуры?

На протяжении 28 мин проводилось наблюдение. На промежутке времени [0;12] минут вода нагревалась от 20°С до 100°C. Приблизительно, 1-1,5мин вода кипела. На промежутке времени [13;28] минут вода остывала до 70°C. Наибольшее значение температуры составило 100°С.

Опишите, как изменялась температура, и укажите промежуток времени, в течение которого проводилось наблюдение.
Анализ графика (Рис. 62) показывает зависимость температуры воды $T$ (в °C) от времени $t$ (в минутах).
1. Изменение температуры:
В начальный момент времени ($t=0$ мин) температура воды составляла $20 \,^{\circ}\text{С}$. В промежутке времени от 0 до 12 минут температура воды непрерывно росла. В момент времени $t=12$ мин температура достигла своего максимального значения. После 12-й минуты и до конца наблюдения температура воды постепенно снижалась.
2. Промежуток времени наблюдения:
Наблюдение начинается в точке $t=0$ мин. Горизонтальная ось времени $t$ имеет цену деления в 2 минуты на одну клетку (например, между отметками 0 и 4 мин находятся 2 клетки). График заканчивается на одну клетку правее отметки $t=20$ мин, что соответствует времени $t = 20 + 2 = 22$ мин. Следовательно, наблюдение проводилось в течение 22 минут.
Ответ: В течение первых 12 минут температура росла с $20 \,^{\circ}\text{С}$ до своего максимума, а затем снижалась. Наблюдение проводилось в промежутке времени от 0 до 22 минут.

Каково было наибольшее значение температуры?
Наибольшее значение температуры соответствует самой высокой точке на графике. Эта точка (вершина кривой) имеет абсциссу $t=12$ мин. Для определения ординаты (значения температуры) обратимся к вертикальной оси $T$.
Цена одного деления (одной клетки) на оси температур составляет $20 \,^{\circ}\text{С}$ (например, между отметками $60 \,^{\circ}\text{С}$ и $80 \,^{\circ}\text{С}$ одна клетка). Вершина графика находится выше отметки $80 \,^{\circ}\text{С}$. Визуально можно оценить, что пик находится примерно на 0,6 высоты клетки выше линии $80 \,^{\circ}\text{С}$.
Таким образом, наибольшее значение температуры можно рассчитать: $T_{max} = 80 \,^{\circ}\text{С} + 0,6 \times 20 \,^{\circ}\text{С} = 80 \,^{\circ}\text{С} + 12 \,^{\circ}\text{С} = 92 \,^{\circ}\text{С}$.
Ответ: Наибольшее значение температуры составило $92 \,^{\circ}\text{С}$.

1099. Кусок льда, имеющий температуру –5 °С, нагревали в течение 16 мин. Результат нагревания показан на графике (рис. 63). Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс на каждом из промежутков [0; 4], (4; 10), [10; 16]?

На промежутке [0;4] лёд нагревается; на промежутке (4;10) лёд таял и превращался в воду; на промежутке [10;16] вода нагревалась.

На представленном графике показана зависимость температуры куска льда от времени нагревания. Проанализируем каждый из указанных промежутков времени.

[0; 4]: На этом промежутке времени, с 0-й по 4-ю минуту, температура вещества линейно возрастает с $-5$ °C до $0$ °C. Поскольку начальное вещество — лед (твердое состояние воды), а температура ниже $0$ °C, этот процесс представляет собой нагревание льда. Лед поглощает тепло, и его температура увеличивается до температуры плавления. Количество теплоты, полученное льдом на этом этапе, рассчитывается по формуле $Q_1 = c_л \cdot m \cdot \Delta T$, где $c_л$ — удельная теплоемкость льда, $m$ — масса льда, а $\Delta T$ — изменение температуры.
Ответ: Нагревание льда от $-5$ °C до температуры плавления $0$ °C.

(4; 10): В интервале времени с 4-й по 10-ю минуту температура вещества остается постоянной и равной $0$ °C, несмотря на то, что нагревание продолжается. Температура $0$ °C является температурой плавления льда. Это означает, что на данном участке происходит фазовый переход — таяние льда. Вся подводимая тепловая энергия расходуется не на увеличение кинетической энергии молекул (и, следовательно, температуры), а на разрушение кристаллической решетки твердого вещества (льда) и превращение его в жидкость (воду). Количество теплоты, необходимое для этого процесса, называется теплотой плавления и вычисляется по формуле $Q_2 = \lambda \cdot m$, где $\lambda$ — удельная теплота плавления льда.
Ответ: Процесс плавления льда при постоянной температуре $0$ °C.

[10; 16]: На этом промежутке, с 10-й по 16-ю минуту, температура снова начинает линейно расти, на этот раз с $0$ °C до $3$ °C. К 10-й минуте весь лед уже растаял, и теперь в сосуде находится вода в жидком состоянии. Таким образом, этот участок графика соответствует нагреванию воды, образовавшейся в результате таяния льда. Количество теплоты, полученное водой, определяется по формуле $Q_3 = c_в \cdot m \cdot \Delta T$, где $c_в$ — удельная теплоемкость воды.
Ответ: Нагревание воды (полученной из растаявшего льда) от $0$ °C до $3$ °C.

1100. (Для работы в парах.) На рисунке 64 изображён график функции y = f(x), где –7 ≤ x ≤ 5. Укажите:

а) нули функции;

б) промежутки, на которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);

в) промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых она убывает;

г) наибольшее и наименьшее значения функции.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните, как вы рассуждали при выполнении задания.

3) Исправьте допущенные ошибки, если они обнаружатся.

y=f(x), где -7≤x≤5

а) y=0 при x=-5; x=-3; x=1; x=4

б) у>0 при x ∈ [-7;-5), (-3; 1); [4;5]

y<0 при x ∈ (-5;-3); (1;4)

в) функция возрастает на промежутках [-4;-1] и [2;5]

Функция убывает на промежутках [-7;-4] и [-1;2]

г) наибольшее значение функции у=6;

Наименьшее значение функции y=-4

а) нули функции;
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. Геометрически это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$).
Из графика видно, что кривая $y = f(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами -6, -2, 2 и 5.
Ответ: нули функции: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$, $x_4 = 5$.

б) промежутки, на которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);
Промежутки знакопостоянства – это интервалы оси $x$, на которых функция сохраняет свой знак.
1. Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси абсцисс. Это происходит на следующих промежутках: от $x = -6$ до $x = -2$ и от $x = 2$ до $x = 5$.
2. Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси абсцисс. Это происходит на следующих промежутках: от $x = -7$ до $x = -6$ и от $x = -2$ до $x = 2$.
Ответ: функция положительна ($f(x)>0$) при $x \in (-6; -2) \cup (2; 5)$; функция отрицательна ($f(x)<0$) при $x \in [-7; -6) \cup (-2; 2)$.

в) промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых она убывает;
1. Функция возрастает на тех промежутках, где при движении по графику слева направо он идет вверх. Точками смены убывания на возрастание являются точки локального минимума.
Из графика видно, что функция возрастает на промежутках от $x = -4$ до $x = 0$ и от $x = 3$ до $x = 5$.
2. Функция убывает на тех промежутках, где при движении по графику слева направо он идет вниз. Точками смены возрастания на убывание являются точки локального максимума.
Из графика видно, что функция убывает на промежутках от $x = -7$ до $x = -4$ и от $x = 0$ до $x = 3$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; 0]$ и $[3; 5]$; функция убывает на промежутках $[-7; -4]$ и $[0; 3]$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[-7; 5]$ — это соответственно ординаты самой высокой и самой низкой точек графика на этом отрезке. Их следует искать среди значений функции на концах отрезка и в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов).
Значения в точках экстремума:

• Локальный максимум в точке $x = 0$, значение $f(0) = 4$.
• Локальный минимум в точке $x = -4$, значение $f(-4) = -2$.
• Локальный минимум в точке $x = 3$, значение $f(3) = -4$.

• На левом конце: $f(-7) \approx 2.5$.
• На правом конце: $f(5) = 0$.

Сравнивая все эти значения ($2.5, -2, 4, -4, 0$), находим, что:
- Наибольшее значение функции равно 4.
- Наименьшее значение функции равно -4.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-7; 5]$ равно $y_{наиб.} = 4$ (достигается при $x=0$); наименьшее значение функции равно $y_{наим.} = -4$ (достигается при $x=3$).

1101. Перечислите свойства функции y = g(x), где –5 ≤ x ≤ 5, график которой изображён на рисунке 65.

$y=g\left(x\right)y=g(x)$, где $-5\le x\le 5-5\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 5$

1) $D\left(g\right)=[-5; 5]D(g)=[-5;5]$

2) $E\left(g\right)=[-4; 6]E(g)=[-4;6]$

3) $y=0y=0$ при $x=-3x=-3$

4) функция возрастает на промежутках $[-5; 0][-5;0]$ и $[2; 5][2;5]$

Функция убывает на промежутке $[0; 2][0;2]$

5) $y>0y>0$ при $x\in (-3; 5]$

$y<0$ при $x\in [-5; -3)$

6) Наименьшее значение функции $g\left(-5\right)=-4g(-5)=-4$; наибольшее значение функции $g\left(5\right)=6g(5)=6$

1. Область определения функции. Область определения — это множество всех значений аргумента $x$, на котором задана функция. По условию задачи и графику функция определена на отрезке от -5 до 5. Ответ: $D(g) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции. Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $g(x)$. На графике видно, что наименьшее значение функции равно -4 (достигается при $x = -5$), а наибольшее значение равно 6 (достигается при $x = 5$). Ответ: $E(g) = [-4; 6]$.

3. Нули функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($g(x)=0$). Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в трех точках. Ответ: $g(x)=0$ при $x \approx -3.5$, $x \approx -1.5$ и $x = 1$.

4. Промежутки знакопостоянства. Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, то есть является либо положительной ($g(x) > 0$), либо отрицательной ($g(x) < 0$). Функция положительна, когда ее график находится выше оси $Ox$, и отрицательна, когда ниже. Ответ: $g(x) > 0$ при $x \in (-3.5; -1.5) \cup (1; 5]$; $g(x) < 0$ при $x \in [-5; -3.5) \cup (-1.5; 1)$.

5. Промежутки монотонности. Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает. Функция возрастает, если с увеличением $x$ значения $g(x)$ также увеличиваются (график идет вверх). Функция убывает, если с увеличением $x$ значения $g(x)$ уменьшаются (график идет вниз). Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; 0]$ и $[2; 5]$; функция убывает на промежутке $[0; 2]$.

6. Точки экстремума. Это точки локального (местного) максимума и минимума. Точка максимума — это точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием. Точка минимума — точка, в которой убывание сменяется возрастанием. Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$ (значение в максимуме $g(0)=3$), точка минимума $x_{min} = 2$ (значение в минимуме $g(2)=1$).

7. Наибольшее и наименьшее значения функции. Это глобальные максимум и минимум функции на всей ее области определения. Их следует искать среди значений в точках экстремума и на концах отрезка. Сравниваем значения: $g(-5) = -4$ (на конце отрезка), $g(0) = 3$ (локальный максимум), $g(2) = 1$ (локальный минимум), $g(5) = 6$ (на конце отрезка). Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = g(5) = 6$; наименьшее значение функции $y_{наим} = g(-5) = -4$.

8. Четность. Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$), то есть выполняется равенство $g(-x)=g(x)$. Функция является нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат, то есть $g(-x)=-g(x)$. График данной функции не обладает ни одним из этих видов симметрии. Например, $g(2)=1$, а $g(-2)=0$, что нарушает оба условия. Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

9. Непрерывность. Функция называется непрерывной на промежутке, если ее график на этом промежутке является сплошной линией без разрывов. Ответ: функция непрерывна на всей области определения $[-5; 5]$.