Страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1080. Постройте график функции, заданной формулой:

Укажите область определения и множество значений функции.

a) $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}-3x$

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

б) $f\left(x\right)=\mathrm{4,5}x$

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

в) $f\left(x\right)=\frac{10}{x}$

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

г) $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}$

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

а) f(x) = 1,5 - 3x;

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$, а свободный член $b = 1,5$. Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

1. При $x = 0$, $f(0) = 1,5 - 3 \cdot 0 = 1,5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 1,5)$.
2. При $f(x) = 0$, $0 = 1,5 - 3x$, откуда $3x = 1,5$ и $x = 0,5$. Точка пересечения с осью Ox: $(0,5; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график функции. Так как $k = -3 < 0$, функция является убывающей.

Область определения функции (D(f)) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для линейной функции нет никаких ограничений на $x$.

Множество значений функции (E(f)) — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$. Так как график — это наклонная прямая, она принимает все возможные значения по оси y.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) f(x) = 4,5x;

Это частный случай линейной функции, называемый прямой пропорциональностью, вида $y = kx$, где $k = 4,5$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат — точку $(0; 0)$.

Для построения графика найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x = 1$:

$f(1) = 4,5 \cdot 1 = 4,5$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1; 4,5)$. Проведя прямую через точки $(0; 0)$ и $(1; 4,5)$, получим искомый график. Так как $k = 4,5 > 0$, функция является возрастающей.

Область определения (D(f)): для данной функции переменная $x$ может принимать любые действительные значения.

Множество значений (E(f)): функция может принимать любые действительные значения.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

в) f(x) = 10/x;

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где $k = 10$. Графиком такой функции является гипербола.

Так как коэффициент $k = 10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика составим таблицу значений для каждой ветви:

Для I четверти (x > 0):

• $x=1, y=10$
• $x=2, y=5$
• $x=5, y=2$
• $x=10, y=1$

Для III четверти (x < 0):

• $x=-1, y=-10$
• $x=-2, y=-5$
• $x=-5, y=-2$
• $x=-10, y=-1$

Соединив точки плавными кривыми в каждой четверти, получим график функции. Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для гиперболы.

Область определения (D(f)): выражение в знаменателе не может быть равно нулю, поэтому $x \neq 0$.

Множество значений (E(f)): значение функции никогда не будет равно нулю, так как дробь $\frac{10}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, что неверно.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) f(x) = -1/x;

Это также функция обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где $k = -1$. Графиком является гипербола.

Так как коэффициент $k = -1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу значений:

Для IV четверти (x > 0):

• $x=1, y=-1$
• $x=2, y=-0,5$
• $x=0,5, y=-2$

Для II четверти (x < 0):

• $x=-1, y=1$
• $x=-2, y=0,5$
• $x=-0,5, y=2$

Построив точки и соединив их плавными кривыми, получим график. Оси координат являются асимптотами.

Область определения (D(f)): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Множество значений (E(f)): функция не может принимать значение 0.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

1081. Найдите множество значений функции:

а) f(x) = 2x – 1, где 1 ≤ x ≤ 4;

б) g(x) = –3x + 8, где –2 ≤ x ≤ 5.

a) $f\left(x\right)=2x-1f(x)=2x-1$, где $1\le x\le 4$

$$\begin{gathered} 1\le x\le 4 \\ 2\le 2x\le 8 \\ 1\le 2x-1\le 7 \\ E\left(f\right)=[1; 7] \end{gathered}$$

Ответ: $[1; 7][1;\; 7]$

б) $g\left(x\right)=-3x+8g(x)=-3x+8$, где $-2\le x\le 5$

$$\begin{gathered} -2\le x\le 5 \\ -15\le -3x\le 6 \\ -7\le -3x+8\le 14 \\ E\left(g\right)=[-7; 14] \end{gathered}$$

Ответ: $[-7; 14][-7;14]$

а) Функция $f(x) = 2x - 1$ является линейной. Её угловой коэффициент $k=2$ положителен, следовательно, функция является монотонно возрастающей на всей области определения, включая заданный отрезок $1 \le x \le 4$.

Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x=1$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

При $x=4$: $f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Таким образом, множество значений функции на отрезке $[1; 4]$ — это все числа от 1 до 7 включительно.

Ответ: $[1; 7]$.

б) Функция $g(x) = -3x + 8$ является линейной. Её угловой коэффициент $k=-3$ отрицателен, следовательно, функция является монотонно убывающей на всей области определения, включая заданный отрезок $-2 \le x \le 5$.

Для монотонно убывающей функции наибольшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наименьшее — в конечной.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x=-2$: $g(-2) = -3 \cdot (-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.

При $x=5$: $g(5) = -3 \cdot 5 + 8 = -15 + 8 = -7$.

Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-2; 5]$ — это все числа от -7 до 14 включительно.

Ответ: $[-7; 14]$.

1082. Используя рисунок 52 на с. 237, укажите область определения и множество значений каждой из функций

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=x^2 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=x^3 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\sqrt{x}, x\ge 0 \\ D\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }\left) \\ E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid } \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \end{gathered}$$

y = x²

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $y = x^2$ является квадратичной. Возведение в квадрат — это операция, которая определена для любого действительного числа. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет. Поэтому аргумент $x$ может принимать абсолютно любое действительное значение.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, что записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), то и значения функции $y$ будут всегда больше или равны нулю. Наименьшее значение функции равно 0 (достигается при $x = 0$), а верхнего предела не существует, так как при неограниченном увеличении $|x|$ значение $x^2$ также неограниченно возрастает.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ — это луч $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

y = x³

Область определения функции $y = x^3$ (кубическая функция) также является множеством всех действительных чисел. Операция возведения в третью степень определена для любого действительного числа $x$ без каких-либо ограничений.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции $y = x^3$. В отличие от возведения в квадрат, результат возведения в нечетную степень (в данном случае в куб) может быть как положительным (если $x > 0$), так и отрицательным (если $x < 0$), а также нулем (если $x = 0$). По мере того как $x$ пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, $y$ также принимает все возможные действительные значения.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

$y = \sqrt{x}$

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ (функция арифметического квадратного корня). В области действительных чисел корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа. Следовательно, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть больше или равно нулю: $x \ge 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество всех неотрицательных чисел, то есть луч $[0; +\infty)$.

Множество значений функции $y = \sqrt{x}$. По определению, арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Это означает, что результат извлечения корня $y$ всегда будет неотрицательным: $y \ge 0$. Наименьшее значение равно 0 (при $x=0$), а с ростом $x$ значение $y$ неограниченно возрастает.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ также является лучом $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

$y = |x|$

Область определения функции $y = |x|$ (модуль или абсолютное значение). Операция взятия модуля определена для любого действительного числа $x$.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции $y = |x|$. Модуль числа по определению — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, и это расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, $y = |x| \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение равно 0 (при $x=0$). Функция может принимать любое положительное значение.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ — это множество всех неотрицательных чисел, то есть луч $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

1083. Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой y = x²x² + 1.

$$\begin{gathered} y=\frac{x^2}{x^2+1} \\ {x}^2\ge 0 \\ {x}^2+1>0 \\ \frac{x^2}{x^2+1}\ge 0 \\ {x}^2+1\ne 0 \\ {x}^2\ne -1 \text{при любых значениях} x \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$E\left(y\right)=[0; 1)$, так как и дробь $\frac{x^2}{x^2+1}\backslash frac\{x^2\}\{x^2+1\}$ правильная, т.е.

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right); [0; 1)$

Область определения

Данная функция $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые необходимо исключить: $x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Значит, знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (точнее, $x^2 + 1 \ge 1$).

Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ нет, и функция определена на всей числовой оси.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений

Множество значений — это совокупность всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для нахождения множества значений проанализируем выражение $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.

1. Оценим нижнюю границу. Так как числитель $x^2 \ge 0$ и знаменатель $x^2 + 1 > 0$, то значение дроби всегда будет неотрицательным: $y \ge 0$. Наименьшее значение достигается при $x = 0$, когда $y = \frac{0^2}{0^2 + 1} = 0$. Таким образом, $0$ входит в множество значений.

2. Оценим верхнюю границу. Преобразуем исходную формулу, выделив целую часть: $y = \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$.

Проанализируем вычитаемое $\frac{1}{x^2 + 1}$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Отсюда для обратной величины получаем: $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$.

Теперь мы можем найти границы для $y = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$. Так как мы вычитаем из 1 число из полуинтервала $(0, 1]$, то:

• Минимальное значение $y$ будет, когда вычитаемое $\frac{1}{x^2+1}$ максимально. Максимум равен 1 (при $x=0$), тогда $y_{min} = 1 - 1 = 0$.
• С ростом $|x|$, $x^2+1$ неограниченно возрастает, а дробь $\frac{1}{x^2+1}$ стремится к 0, оставаясь положительной. Следовательно, значение $y$ стремится к $1 - 0 = 1$, но никогда его не достигает.

Таким образом, значения функции $y$ принадлежат полуинтервалу $[0, 1)$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = [0; 1)$.

1084. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины х (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и множество значений этой функции.

$P=2x+20P=2x+20$

Используя неравенство треугольника $2x>202x\; >\; 20$. По условию задачи $2x+20\le 1002x+20\; \backslash le\; 100$

Составим систему неравенств

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x>20\\ 2x+20\le 100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>10\\ 2x\le 80\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>10\\ x\le 40\end{array}\right. \\ D\left(f\right)=(10; 40] \end{gathered}$$

Наименьшее $P=2·10+20=40P=2\; \backslash cdot\; 10+20=40$

Наибольшее $P=2·40+20=100$

$E\left(f\right)=[40; 100]$

Ответ: $(10; 40]; (40; 100]$

Задание формулы функции

Периметр равнобедренного треугольника $P$ зависит от длины его боковой стороны $x$. Основание треугольника по условию равно 20 см. Периметр — это сумма длин всех сторон. Так как боковых сторон две и они равны $x$, то зависимость периметра от $x$ выражается следующей функцией:
$P(x) = x + x + 20 = 2x + 20$.
Ответ: $P(x) = 2x + 20$.

Область определения функции

Область определения функции $D(P)$ — это множество всех допустимых значений переменной $x$. Для нахождения области определения необходимо учесть два условия:
1. Неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Для нашего треугольника основное ограничение — это сумма боковых сторон должна быть больше основания: $x + x > 20 \Rightarrow 2x > 20 \Rightarrow x > 10$.
(Неравенство $x + 20 > x$ выполняется для любого положительного $x$).
2. Условие из задачи: периметр треугольника не превосходит 100 см. $P(x) \le 100 \Rightarrow 2x + 20 \le 100 \Rightarrow 2x \le 80 \Rightarrow x \le 40$.
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен удовлетворять системе неравенств: $\begin{cases} x > 10 \\ x \le 40 \end{cases}$. Следовательно, область определения — это полуинтервал $(10, 40]$.
Ответ: $D(P) = (10, 40]$.

Множество значений функции

Множество значений функции $E(P)$ — это множество всех возможных значений периметра $P(x)$, когда аргумент $x$ принадлежит области определения $(10, 40]$.
Функция $P(x) = 2x + 20$ является линейной и возрастающей, так как коэффициент при $x$ положителен. Это значит, что для нахождения множества значений функции нужно найти ее значения на границах области определения $x$.
- Нижняя граница (недостижимая, так как $x > 10$): $P(10) = 2 \cdot 10 + 20 = 40$.
- Верхняя граница (достижимая, так как $x \le 40$): $P(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100$.
Таким образом, значения периметра $P(x)$ строго больше 40 и не превосходят 100, то есть $40 < P(x) \le 100$.
Ответ: $E(P) = (40, 100]$.

1085. Постройте график функции f(x) = –x². Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от –∞ до 0 (увеличиваются или уменьшаются)? Укажите область определения и множество значений данной функции.

y=-x²

С увеличением значений аргумента от -∞ до 0 значения функции увеличивается

D(y)=(-∞; +∞)

E(y)=(-∞; 0]

Постройте график функции $f(x) = -x^2$
Данная функция является квадратичной, её график — это парабола. Эта парабола является отражением графика функции $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
Основные свойства графика $f(x) = -x^2$:
1. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
2. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1).
3. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:
При $x = 0$, $f(0) = -0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 1$, $f(1) = -1^2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
При $x = -1$, $f(-1) = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
При $x = 2$, $f(2) = -2^2 = -4$. Точка $(2, -4)$.
При $x = -2$, $f(-2) = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от $-\infty$ до 0 (увеличиваются или уменьшаются)?
Рассмотрим, как ведёт себя функция $f(x) = -x^2$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.
Возьмём два любых значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, так что $x_1 < x_2$. Например, пусть $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
Найдём соответствующие значения функции:
$f(x_1) = f(-3) = -(-3)^2 = -9$.
$f(x_2) = f(-1) = -(-1)^2 = -1$.
Мы видим, что при увеличении аргумента (от -3 до -1) соответствующее значение функции также увеличивается (от -9 до -1), так как $-9 < -1$. Это означает, что на промежутке $(-\infty; 0)$ функция является возрастающей.
Ответ: С увеличением значений аргумента от $-\infty$ до 0 значения функции увеличиваются.

Укажите область определения и множество значений данной функции
Область определения функции (D(f)):
Выражение $-x^2$ имеет смысл при любом действительном значении аргумента $x$. Никаких ограничений (вроде деления на ноль или извлечения корня из отрицательного числа) нет. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции (E(f)):
Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), то выражение $-x^2$ будет всегда неположительным (меньшим или равным нулю).
$-x^2 \le 0$.
Максимальное значение функции равно 0, оно достигается при $x=0$. Наименьшего значения не существует, так как функция может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения. Таким образом, множество значений функции — это все числа от $-\infty$ до 0, включая 0.
$E(f) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 0]$.

1086. Постройте график функции f(x) = –2x.

Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от 0 до +∞ (увеличиваются или уменьшаются)? Укажите область определения и множество значений данной функции.

$f\left(x\right)=-2\sqrt{x}f(x)=-2\backslash sqrt\{x\}, x\ge 0x\; \backslash ge\; 0$

С увеличением значений аргумента от 0 до +∞ значения функции уменьшаются

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \\ E\left(f\right)=(-\mathrm{\infty }; 0] \end{gathered}$$

Постройте график функции $f(x) = -2\sqrt{x}$

График функции $f(x) = -2\sqrt{x}$ можно построить, исходя из графика основной функции $y = \sqrt{x}$. Для этого нужно выполнить следующие преобразования:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.
2. Растянуть график $y = \sqrt{x}$ от оси $Ox$ в 2 раза. Получим график функции $y = 2\sqrt{x}$.
3. Симметрично отразить график $y = 2\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Получим искомый график функции $f(x) = -2\sqrt{x}$.

Для более точного построения составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметим точки $(0, 0)$, $(1, -2)$, $(4, -4)$, $(9, -6)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в четвертой координатной четверти.

Ответ: График функции $f(x) = -2\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$ и последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$. Он начинается в точке $(0,0)$ и убывает в четвертой координатной четверти.

Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от 0 до +? (увеличиваются или уменьшаются)?

Рассмотрим два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0, +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, то из $x_1 < x_2$ следует, что $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-2\sqrt{x_1} > -2\sqrt{x_2}$. Это означает, что $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, функция $f(x) = -2\sqrt{x}$ является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: С увеличением значений аргумента от 0 до $+\infty$ значения данной функции уменьшаются.

Укажите область определения и множество значений данной функции

1. Область определения функции (D(f)). Область определения функции $f(x) = -2\sqrt{x}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции — это все неотрицательные числа. $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Множество значений функции (E(f)). По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Умножая это неравенство на $-2$, получаем: $-2\sqrt{x} \le 0$. Значит, $f(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, множество значений функции — это все не-положительные числа. $E(f) = (-\infty, 0]$.

Ответ: Область определения: $D(f) = [0, +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty, 0]$.

1087. На рисунке 55 изображён график одной из функций, заданных формулами

y = x – 1, y = 1 + x, y = = 2x – 1, y = 1 – 2x.

Выясните, какой именно.

y=2x-1

Чтобы выяснить, какая из предложенных функций изображена на графике, определим координаты двух ключевых точек, через которые проходит прямая, и проверим, какая из формул удовлетворяет этим координатам.

Из рисунка 55 видно, что график представляет собой прямую, которая проходит через следующие точки:

• Точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$), координаты которой $(1, 0)$.
• Точку пересечения с осью ординат (осью $y$), координаты которой $(0, -1)$.

Теперь выполним проверку для каждой из предложенных функций, подставляя в них координаты точки $(1, 0)$.

• Проверяем функцию $y = x - 1$:
  Подставляем $x=1$ и $y=0$: $0 = 1 - 1$. Равенство верное ($0=0$). Эта функция подходит.
• Проверяем функцию $y = 1 + x$ (или $y = x + 1$):
  Подставляем $x=1$ и $y=0$: $0 = 1 + 1$. Равенство неверное ($0 \neq 2$). Эта функция не подходит.
• Проверяем функцию $y = 2x - 1$:
  Подставляем $x=1$ и $y=0$: $0 = 2 \cdot 1 - 1$. Равенство неверное ($0 \neq 1$). Эта функция не подходит.
• Проверяем функцию $y = 1 - 2x$:
  Подставляем $x=1$ и $y=0$: $0 = 1 - 2 \cdot 1$. Равенство неверное ($0 \neq -1$). Эта функция не подходит.

Уже после проверки одной точки $(1, 0)$ стало ясно, что единственной подходящей функцией является $y = x - 1$. Для полной уверенности можно сделать проверку и для второй точки $(0, -1)$, подставив ее координаты в эту функцию:

$y = x - 1 \implies -1 = 0 - 1$. Равенство также верное ($-1=-1$).

Так как обе ключевые точки принадлежат графику функции $y = x - 1$, то именно он и изображен на рисунке.

Ответ: На рисунке изображён график функции $y = x - 1$.