Страница 237 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1063. Функция задана формулой f(x) = –3x² + 10. Найдите:

$f\left(x\right)=-3x^2+10f(x)=-3x^2+10$

a) $f\left(-1\right)=-3·{\left(-1\right)}^2+10=-3+10=7$

б) $f\left(0\right)=-3·0^2+10=10f(0)=-3\backslash cdot0^2+10=10$

в) $$\begin{gathered} f\left(\frac{1}{3}\right)=-3·{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+10=-3·\frac{1}{9}+10= \\ =-\frac{1}{3}+10=9\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = -3x^2 + 10$ и выполнить вычисления.

а)

Чтобы найти $f(-1)$, подставим $x = -1$ в формулу функции:

$f(-1) = -3 \cdot (-1)^2 + 10$

Сначала возводим в степень: $(-1)^2 = 1$.

Затем выполняем умножение и сложение:

$f(-1) = -3 \cdot 1 + 10 = -3 + 10 = 7$

Ответ: 7

б)

Чтобы найти $f(0)$, подставим $x = 0$ в формулу функции:

$f(0) = -3 \cdot 0^2 + 10$

Сначала возводим в степень: $0^2 = 0$.

Затем выполняем умножение и сложение:

$f(0) = -3 \cdot 0 + 10 = 0 + 10 = 10$

Ответ: 10

в)

Чтобы найти $f(\frac{1}{3})$, подставим $x = \frac{1}{3}$ в формулу функции:

$f(\frac{1}{3}) = -3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 10$

Сначала возводим в степень: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Затем выполняем умножение:

$f(\frac{1}{3}) = -3 \cdot \frac{1}{9} + 10 = -\frac{3}{9} + 10 = -\frac{1}{3} + 10$

И, наконец, сложение. Для этого приведем число 10 к дроби со знаменателем 3:

$-\frac{1}{3} + 10 = -\frac{1}{3} + \frac{30}{3} = \frac{-1+30}{3} = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$

Ответ: $9\frac{2}{3}$

1064. Найдите f(0), f(1,5) и f(–1), если f(x) =x - 0,5x + 0,5.

f(x)=$\frac{x-\mathrm{0,5}}{x+\mathrm{0,5}}\backslash frac\{x-0,5\}\{x+0,5\}$

f(0)=$\frac{0-\mathrm{0,5}}{0+\mathrm{0,5}}=\frac{-\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,5}}=-1\backslash frac\{0-0,5\}\{0+0,5\}=\backslash frac\{-0,5\}\{0,5\}=-1$

f(1,5)=$\frac{\mathrm{1,5}-\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,5}+\mathrm{0,5}}=\frac{1}{2}\backslash frac\{1,5-0,5\}\{1,5+0,5\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$

f(-1)=$\frac{-1-\mathrm{0,5}}{-1+\mathrm{0,5}}=\frac{-\mathrm{1,5}}{-\mathrm{0,5}}=\frac{15}{5}=3\backslash frac\{-1-0,5\}\{-1+0,5\}=\backslash frac\{-1,5\}\{-0,5\}=\backslash frac\{15\}\{5\}=3$

Чтобы найти значения функции $f(x) = \frac{x - 0,5}{x + 0,5}$ в заданных точках, необходимо подставить соответствующие значения $x$ в выражение для функции.

f(0)

Подставим $x=0$ в формулу функции:

$f(0) = \frac{0 - 0,5}{0 + 0,5} = \frac{-0,5}{0,5} = -1$

Ответ: -1

f(1,5)

Подставим $x=1,5$ в формулу функции:

$f(1,5) = \frac{1,5 - 0,5}{1,5 + 0,5} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

f(-1)

Подставим $x=-1$ в формулу функции:

$f(-1) = \frac{-1 - 0,5}{-1 + 0,5} = \frac{-1,5}{-0,5} = 3$

Ответ: 3

1065. Известно, что f(x) = x³ – 10. Найдите:

а) f(5);

б) f(4);

в) f(2);

г) f(–3).

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = x^2-10 \\ \mathbf{\text{a)}} f\left(5\right)=5^3-10=125-10=115 \\ \mathbf{\text{б)}} f\left(4\right)=4^3-10=64-10=54 \\ \mathbf{\text{в)}} f\left(2\right)=2^3-10=8-10=-2 \\ \mathbf{\text{г)}} f(-3)={(-3)}^3-10=-27-10=-37 \end{gathered}$$

Для нахождения значений функции $f(x) = x^3 - 10$ необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу функции и выполнить арифметические операции.

а) f(5);

Чтобы найти $f(5)$, подставим значение $x = 5$ в выражение для функции:

$f(5) = 5^3 - 10$

Сначала вычислим значение $5^3$:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$f(5) = 125 - 10 = 115$

Ответ: 115

б) f(4);

Чтобы найти $f(4)$, подставим значение $x = 4$ в выражение для функции:

$f(4) = 4^3 - 10$

Вычислим значение $4^3$:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$f(4) = 64 - 10 = 54$

Ответ: 54

в) f(2);

Чтобы найти $f(2)$, подставим значение $x = 2$ в выражение для функции:

$f(2) = 2^3 - 10$

Вычислим значение $2^3$:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$f(2) = 8 - 10 = -2$

Ответ: -2

г) f(-3).

Чтобы найти $f(-3)$, подставим значение $x = -3$ в выражение для функции:

$f(-3) = (-3)^3 - 10$

Вычислим значение $(-3)^3$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:

$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$f(-3) = -27 - 10 = -37$

Ответ: -37

1066. Пусть φ(x) = x² + x + 1. Найдите φ(0) + φ(1) + φ(2) + φ(3).

$$\begin{gathered} \phi \left(x\right)=x^2+x+1 \\ \phi \left(0\right)+\phi \left(1\right)+\phi \left(2\right)+\phi \left(3\right)= \\ =0^2+0+1+1^2+1+1+2^2+2+1+3^2+3+1=24 \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо найти значения функции $\varphi(x) = x^2 + x + 1$ при $x=0, 1, 2, 3$ и затем сложить их.

Выполним вычисления для каждого значения $x$:

• При $x=0$: $\varphi(0) = 0^2 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.
• При $x=1$: $\varphi(1) = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
• При $x=2$: $\varphi(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$.
• При $x=3$: $\varphi(3) = 3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13$.

Теперь сложим полученные результаты:

$\varphi(0) + \varphi(1) + \varphi(2) + \varphi(3) = 1 + 3 + 7 + 13 = 24$.

Ответ: 24.

1067. Известно, что f(x) = –5x + 6. Найдите значение x, при котором:

а) f(x) = 17;

б) f(x) = –3;

в) f(x) = 0.

$f\left(x\right)=-5x+6f(x)=-5x+6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}f\left(x\right)=17 \\ -5x+6=17 \\ -5x=11 \\ x=-\frac{11}{5} \\ x=-2\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Ответ: -2,2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}f\left(x\right)=-3 \\ -5x+6=-3 \\ -5x=-9 \\ x=\frac{-9}{-5} \\ x=1,8 \end{gathered}$$

Ответ: 1,8

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}f\left(x\right)=0 \\ -5x+6=0 \\ -5x=-6 \\ x=\frac{-6}{-5} \\ x=1,2 \end{gathered}$$

Ответ: 1,2

Чтобы найти значение $x$, при котором функция $f(x) = -5x + 6$ принимает заданное значение, необходимо приравнять выражение для функции к этому значению и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

а) $f(x) = 17$

Подставим значение функции в уравнение:

$-5x + 6 = 17$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$-5x = 17 - 6$

$-5x = 11$

Разделим обе части на -5:

$x = \frac{11}{-5}$

$x = -2.2$

Ответ: -2.2

б) $f(x) = -3$

Подставим значение функции в уравнение:

$-5x + 6 = -3$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$-5x = -3 - 6$

$-5x = -9$

Разделим обе части на -5:

$x = \frac{-9}{-5}$

$x = 1.8$

Ответ: 1.8

в) $f(x) = 0$

Подставим значение функции в уравнение:

$-5x + 6 = 0$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$-5x = -6$

Разделим обе части на -5:

$x = \frac{-6}{-5}$

$x = 1.2$

Ответ: 1.2

1068. Найдите значения x, при которых g(x) = 0, если:

$g\left(x\right)=0g(x)=0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}g\left(x\right)=x\left(x+4\right) \\ x\left(x+4\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+4=0\\ & & x=-4\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -4; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}g\left(x\right)=\frac{x+1}{5-x} \\ \frac{x+1}{5-x}=0 \\ \begin{array}{lcl}x+1=0& \text{и}& 5-x\ne 0\\ x=-1& & x\ne 5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -1

а) Для того чтобы найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$, необходимо решить уравнение $g(x) = 0$ для заданной функции $g(x) = x(x + 4)$.

Получаем уравнение:

$x(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$

2) $x + 4 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x = -4$

Таким образом, функция $g(x)$ обращается в ноль при двух значениях $x$.

Ответ: $0; -4$.

б) В этом случае нам нужно найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$ для функции $g(x) = \frac{x+1}{5-x}$.

Составляем уравнение:

$\frac{x+1}{5-x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ 5 - x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение системы:

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие ($5 - x \neq 0$) для найденного значения $x = -1$. Подставляем $-1$ в знаменатель:

$5 - (-1) = 5 + 1 = 6$

Поскольку $6 \neq 0$, условие выполняется. Значит, $x = -1$ является решением уравнения.

Ответ: $-1$.