Страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1044. Решите неравенство:

a) 2(4y-1)-5y<3y+5

8y-2-5y<3y+5

3y-2<3y+5

3y-3y<5+2

0y<7; 0<7 - верно при любых у

Ответ: (-∞; +∞)

б) 6(1-y)-8(3y+1)+30y>-5

6-6y-24y-8+30y>-5

0y-2>-5

0y>-5+2

0y>-3; 0>-3 - верно при любых у

Ответ: (-∞; +∞)

а) Решим неравенство $2(4y - 1) - 5y < 3y + 5$.
Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$2 \cdot 4y - 2 \cdot 1 - 5y < 3y + 5$
$8y - 2 - 5y < 3y + 5$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$(8y - 5y) - 2 < 3y + 5$
$3y - 2 < 3y + 5$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть, а числа — в правую часть неравенства, меняя знаки на противоположные:
$3y - 3y < 5 + 2$
$0 \cdot y < 7$
$0 < 7$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении $y$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $6(1 - y) - 8(3y + 1) + 30y > -5$.
Раскроем скобки:
$6 \cdot 1 - 6 \cdot y - (8 \cdot 3y + 8 \cdot 1) + 30y > -5$
$6 - 6y - 24y - 8 + 30y > -5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-6y - 24y + 30y) + (6 - 8) > -5$
$(-30y + 30y) - 2 > -5$
$0 \cdot y - 2 > -5$
$-2 > -5$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

1045. Найдите, при каких значениях а уравнение имеет положительный корень:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x=9a \\ x=\frac{9a}{3} \\ x=3a; x>0; 3a>0; a>0 \end{gathered}$$

Ответ: при a > 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x+2=a \\ x=a-2; x>0 \text{при }a-2>0; a>2 \end{gathered}$$

Ответ: при a > 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x-8=3a+1 \\ x=3a+1+8 \\ x=3a+9 \\ x>0 \text{при }3a+9>0; 3a>-9; a>-3 \end{gathered}$$

Ответ: при a > -3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 2x-3=a+4 \\ 2x=a+4+3 \\ 2x=a+7 \\ x=\frac{a+7}{2} \\ \begin{array}{ccl}x>0& \text{при}& \frac{a+7}{2}>0 /·2\\ & & a+7>0;\\ & & a>-7\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при a > -7

Для каждого уравнения необходимо сначала выразить корень $x$ через параметр $a$, а затем решить неравенство $x > 0$ относительно $a$.

а)

Дано уравнение $3x = 9a$.

1. Выразим $x$ из уравнения. Для этого разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{9a}{3}$

$x = 3a$

2. По условию, корень должен быть положительным, то есть $x > 0$. Подставим полученное выражение для $x$ в это неравенство:

$3a > 0$

3. Решим неравенство относительно $a$, разделив обе части на 3:

$a > 0$

Ответ: при $a > 0$.

б)

Дано уравнение $x + 2 = a$.

1. Выразим $x$ из уравнения, перенеся 2 в правую часть:

$x = a - 2$

2. Составим неравенство, исходя из условия $x > 0$:

$a - 2 > 0$

3. Решим неравенство относительно $a$, перенеся -2 в правую часть:

$a > 2$

Ответ: при $a > 2$.

в)

Дано уравнение $x - 8 = 3a + 1$.

1. Выразим $x$, перенеся -8 в правую часть:

$x = 3a + 1 + 8$

$x = 3a + 9$

2. Подставим выражение для $x$ в неравенство $x > 0$:

$3a + 9 > 0$

3. Решим полученное неравенство относительно $a$:

$3a > -9$

$a > \frac{-9}{3}$

$a > -3$

Ответ: при $a > -3$.

г)

Дано уравнение $2x - 3 = a + 4$.

1. Выразим $x$. Сначала перенесем -3 в правую часть:

$2x = a + 4 + 3$

$2x = a + 7$

Теперь разделим обе части на 2:

$x = \frac{a + 7}{2}$

2. Составим неравенство, исходя из условия $x > 0$:

$\frac{a + 7}{2} > 0$

3. Решим неравенство. Умножим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):

$a + 7 > 0$

Перенесем 7 в правую часть:

$a > -7$

Ответ: при $a > -7$.

1046. Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 10x=3b \\ x=\frac{3b}{10} \\ x=0,3b; x<0 \text{при }3b<0; b<0 \end{gathered}$$

Ответ: при b < 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x-4=b \\ x=b+4 \\ x<0 \text{при }b+4<0; b<-4 \end{gathered}$$

Ответ: при b < -4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x-1=b+2 \\ 3x=b+2+1 \\ 3x=b+3 \\ x=\frac{b+3}{3} \\ \begin{array}{ccl}x<0& \text{при}& \frac{b+3}{3}<0 /·3\\ & & b+3<0\\ & & b<-3\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при b < -12

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 3x-3=5b-2 \\ 3x=5b-2+3 \\ 3x=5b+1 \\ x=\frac{5b+1}{3} \\ \begin{array}{ccl}x<0& \text{при}& \frac{5b+1}{3}<0 /·3\\ & & 5b+1<0\\ & & 5b<-1\\ & & b<-\frac{1}{5}\\ & & b<-0,2\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при b < -0,2

а) Чтобы найти значения $b$, при которых уравнение имеет отрицательный корень, сначала выразим $x$ через $b$ из данного уравнения $10x = 3b$.
Разделим обе части уравнения на 10: $x = \frac{3b}{10}$
По условию корень $x$ должен быть отрицательным, то есть $x < 0$. Составим неравенство: $\frac{3b}{10} < 0$
Умножим обе части неравенства на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится: $3b < 0$
Разделим обе части на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства не изменится: $b < 0$
Следовательно, уравнение имеет отрицательный корень при $b < 0$.
Ответ: $b < 0$.

б) В уравнении $x - 4 = b$ выразим $x$ через $b$.
Прибавим 4 к обеим частям уравнения: $x = b + 4$
Корень $x$ должен быть отрицательным, поэтому $x < 0$. Составим и решим неравенство: $b + 4 < 0$
Вычтем 4 из обеих частей неравенства: $b < -4$
Следовательно, уравнение имеет отрицательный корень при $b < -4$.
Ответ: $b < -4$.

в) Рассмотрим уравнение $3x - 1 = b + 2$. Выразим $x$ через $b$.
Сначала перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак: $3x = b + 2 + 1$
$3x = b + 3$
Теперь разделим обе части на 3: $x = \frac{b + 3}{3}$
По условию корень $x$ должен быть отрицательным, то есть $x < 0$: $\frac{b + 3}{3} < 0$
Умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не изменится: $b + 3 < 0$
Вычтем 3 из обеих частей: $b < -3$
Следовательно, уравнение имеет отрицательный корень при $b < -3$.
Ответ: $b < -3$.

г) Рассмотрим уравнение $3x - 3 = 5b - 2$. Выразим $x$ через $b$.
Перенесем -3 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $3x = 5b - 2 + 3$
$3x = 5b + 1$
Разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{5b + 1}{3}$
Корень $x$ должен быть отрицательным, то есть $x < 0$. Составим неравенство: $\frac{5b + 1}{3} < 0$
Умножим обе части на 3: $5b + 1 < 0$
Вычтем 1 из обеих частей: $5b < -1$
Разделим обе части на 5. Так как 5 > 0, знак неравенства не изменится: $b < -\frac{1}{5}$
Следовательно, уравнение имеет отрицательный корень при $b < -1/5$.
Ответ: $b < -\frac{1}{5}$.

1047. При каких значениях m верно равенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left|2m-16\right|=2m-16 \\ 2m-16\ge 0 \\ 2m\ge 16 \\ m\ge 8 \end{gathered}$$

Ответ: при $m\ge 8$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\left|12-6m\right|}{12-6m}=1 \\ 12-6m>0 \\ 6m<12 \\ m<2 \end{gathered}$$

Ответ: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left|m+6\right|=-m-6 \\ m+6\le 0 \\ m\le -6 \end{gathered}$$

Ответ: при $m\le -6m\backslash le\; -6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{\left|10m-35\right|}{10m-35}=-1 \\ 10m-35<0 \\ 10m<35 \\ m<\mathrm{3,5} \end{gathered}$$

Ответ: при

а)

По определению модуля, равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$.

В данном случае $x = 2m - 16$. Следовательно, равенство $|2m - 16| = 2m - 16$ будет верным при выполнении условия:

$2m - 16 \ge 0$

Решим это линейное неравенство относительно $m$:

$2m \ge 16$

$m \ge \frac{16}{2}$

$m \ge 8$

Ответ: $m \ge 8$.

б)

Равенство вида $\frac{|x|}{x} = 1$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $x$ строго положительно ($x > 0$), так как знаменатель не может быть равен нулю.

В данном случае $x = 12 - 6m$. Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$12 - 6m > 0$

Решим это неравенство:

$-6m > -12$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$m < \frac{-12}{-6}$

$m < 2$

Ответ: $m < 2$.

в)

По определению модуля, равенство $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $x \le 0$.

Преобразуем правую часть исходного равенства: $-m - 6 = -(m + 6)$. Тогда равенство принимает вид $|m + 6| = -(m + 6)$.

В данном случае $x = m + 6$. Следовательно, равенство будет верным при выполнении условия:

$m + 6 \le 0$

Решим это линейное неравенство:

$m \le -6$

Ответ: $m \le -6$.

г)

Равенство вида $\frac{|x|}{x} = -1$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $x$ строго отрицательно ($x < 0$), так как знаменатель не может быть равен нулю.

В данном случае $x = 10m - 35$. Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$10m - 35 < 0$

Решим это неравенство:

$10m < 35$

$m < \frac{35}{10}$

$m < 3.5$

Ответ: $m < 3.5$.

1048. Найдите промежутки, в которых функция y = –6x + 12 принимает положительные значения; отрицательные значения.

Ответ проиллюстрируйте на графике.

y=-6x+12

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\mathit{y}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{\text{при}}& -6x+12>0\\ & -6x>-12 \\ x<2\end{array} \\ \begin{array}{cl}\mathit{y}\mathbf{<}\mathbf{0}\mathbf{\text{ при}} & -6x+12<0\\ & -6x<-12 \\ x>2\end{array} \end{gathered}$$

Для определения промежутков знакопостоянства функции $y = -6x + 12$ необходимо решить неравенства $y > 0$ и $y < 0$.

положительные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, решим неравенство $y > 0$:
$-6x + 12 > 0$
Перенесем 12 в правую часть, изменив знак:
$-6x > -12$
Разделим обе части неравенства на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-12}{-6}$
$x < 2$
Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутке $(-\infty; 2)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

отрицательные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения, решим неравенство $y < 0$:
$-6x + 12 < 0$
Перенесем 12 в правую часть, изменив знак:
$-6x < -12$
Разделим обе части неравенства на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-12}{-6}$
$x > 2$
Следовательно, функция принимает отрицательные значения на промежутке $(2; +\infty)$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

Ответ проиллюстрируйте на графике

Для построения графика функции $y = -6x + 12$ найдем две точки, через которые проходит эта прямая. Удобнее всего взять точки пересечения с осями координат.
1. Пересечение с осью ординат (Oy): при $x=0$, $y = -6(0) + 12 = 12$. Получаем точку $(0; 12)$.
2. Пересечение с осью абсцисс (Ox): при $y=0$, $0 = -6x + 12$, откуда $6x=12$ и $x=2$. Получаем точку $(2; 0)$.
На графике ниже показана прямая $y = -6x + 12$.
Часть прямой, на которой функция принимает положительные значения ($y > 0$), выделена зеленым цветом. Это соответствует промежутку $x \in (-\infty; 2)$.
Часть прямой, на которой функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), выделена красным цветом. Это соответствует промежутку $x \in (2; +\infty)$.
Точка $(2; 0)$ — это нуль функции, в которой происходит смена знака.

1049. Со склада вывозят болванки: железные массой по 500 кг и медные массой по 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 т, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?

Пусть x железных болванок погрузили на грузовик, тогда 12-х мерных болванок погрузили. Зная, что грузовик может везти не более 4т=4000кг, составим и решим неравенство

$$\begin{gathered} 500x+200\left(12-x\right)\le 4000500x+200\; (12-x)\; \backslash le\; 4000 \\ 500x+2400-200x\le 4000500x+2400-200x\; \backslash le\; 4000 \\ 300x\le 4000-2400300x\; \backslash le\; 4000-2400 \\ 300x\le 1600300x\; \backslash le\; 1600 \\ x\le \frac{1600}{300}x\; \backslash le\; \backslash frac\{1600\}\{300\} \\ x\le \frac{16}{3}x\; \backslash le\; \backslash frac\{16\}\{3\} \\ x\le 5\frac{1}{3}x\; \backslash le\; 5\backslash frac\{1\}\{3\} \end{gathered}$$

Ответ: не более 5 железных болванок

Пусть $x$ — количество железных болванок, а $y$ — количество медных болванок.

Согласно условию, всего на грузовик погрузили 12 болванок. Составим первое уравнение:

$x + y = 12$

Отсюда можно выразить количество медных болванок:

$y = 12 - x$

Масса одной железной болванки составляет 500 кг, а одной медной — 200 кг. Общая масса всех болванок равна $500x + 200y$. Грузовик может везти не более 4 тонн, что эквивалентно 4000 кг. Составим неравенство для общей массы:

$500x + 200y \le 4000$

Для того чтобы найти возможные значения $x$, подставим выражение $y = 12 - x$ в неравенство:

$500x + 200(12 - x) \le 4000$

Теперь решим это неравенство относительно $x$:

$500x + 2400 - 200x \le 4000$

Приведем подобные слагаемые:

$300x + 2400 \le 4000$

Перенесем 2400 в правую часть:

$300x \le 4000 - 2400$

$300x \le 1600$

Разделим обе части на 300:

$x \le \frac{1600}{300}$

$x \le \frac{16}{3}$

$x \le 5\frac{1}{3}$

Поскольку количество болванок ($x$) может быть только целым и неотрицательным числом ($x \ge 0$), то возможными значениями для $x$ являются целые числа от 0 до 5.

Проверим также, что количество медных болванок $y$ при этих значениях $x$ также будет неотрицательным. Так как $y = 12 - x$, при максимальном $x=5$ мы получаем $y = 12 - 5 = 7$, что является положительным числом. Значит, все значения $x$ от 0 до 5 допустимы.

Ответ: может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 железных болванок.

1050. С турбазы в город, отстоящий на расстояние 24 км, вышел первый турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?

Пусть x км/ч - скорость второго туриста, тогда время, которое он потратит на весь путь равно $\frac{24}{x}\text{ч}$., а время, которое потратит первый турист на весь путь равно $\frac{24}{x}=6\text{ч}$. Зная, что второй турист вышел спустя 2ч вслед за первым и он должен догнать первого до его прихода в город, составим и решим неравенство:

$$\begin{gathered} \frac{24}{x}+2<6 \\ \frac{24}{x}<4 /·x \\ 24<4x \\ x>6 \end{gathered}$$

Ответ: более 6 км/ч

Для решения задачи определим все известные и неизвестные величины:
$S = 24$ км — расстояние от турбазы до города.
$v_1 = 4$ км/ч — скорость первого туриста.
$v_2$ — искомая скорость второго туриста.
$\Delta t = 2$ ч — время, на которое первый турист вышел раньше второго.

1. Найдем общее время, которое потребуется первому туристу, чтобы дойти до города. Это время определит крайний срок, до которого должна произойти встреча.
$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 6$ часов.

2. Второй турист отправляется в путь спустя 2 часа. За это время первый турист успевает уйти вперед. Найдем расстояние, которое прошел первый турист за эти 2 часа (фора):
$S_{фора} = v_1 \cdot \Delta t = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8$ км.

3. Теперь рассмотрим "граничный" случай: второй турист догоняет первого в тот самый момент, когда тот приходит в город.
Первый турист будет в городе через 6 часов после своего старта.
Второй турист стартует на 2 часа позже, значит, у него есть $6 - 2 = 4$ часа, чтобы дойти до города.
Чтобы успеть, он должен преодолеть все расстояние $S = 24$ км за 4 часа. Найдем его скорость для этого случая:
$v_{2,граничная} = \frac{S}{t_1 - \Delta t} = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 6$ км/ч.

При скорости 6 км/ч второй турист догонит первого точно у входа в город. По условию задачи, он должен догнать его "до его прихода в город", то есть встреча должна произойти на расстоянии, меньшем 24 км. Для этого скорость второго туриста должна быть строго больше, чем вычисленная граничная скорость.

Проверим это с помощью неравенства.
Пусть $t$ — время, прошедшее с момента выхода второго туриста до их встречи. Скорость сближения туристов равна $(v_2 - v_1)$. Время до встречи:
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_2 - v_1} = \frac{8}{v_2 - 4}$.
За это время первый турист пройдет от начальной точки расстояние $S_{встречи} = v_1 \cdot (t_{встречи} + \Delta t)$.
Это расстояние должно быть строго меньше 24 км:
$v_1 \cdot (\frac{8}{v_2 - 4} + 2) < 24$
$4 \cdot (\frac{8 + 2(v_2 - 4)}{v_2 - 4}) < 24$
$\frac{8 + 2v_2 - 8}{v_2 - 4} < 6$
$\frac{2v_2}{v_2 - 4} < 6$
Так как для обгона $v_2 > 4$, знаменатель $(v_2 - 4)$ положителен. Умножим обе части на него:
$2v_2 < 6(v_2 - 4)$
$2v_2 < 6v_2 - 24$
$24 < 4v_2$
$6 < v_2$

Таким образом, скорость второго туриста должна быть больше 6 км/ч.
Ответ: Скорость второго туриста должна быть больше 6 км/ч.

1051. От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км (рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через ферму по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?

Пусть х км/ч - скорость мотоциклиста, тогда время, которое он потратил на дорогу от деревни до станции равно $\frac{60}{x}\backslash frac\{60\}\{x\}$ч. Время, которое потратил на путь от фермы до станции велосипедист равно $\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\backslash frac\{40\}\{12\}=\backslash frac\{10\}\{3\}$ч. Чтобы мотоциклисту догнать велосипедиста до его приезда на станцию, нужно, что бы его время было меньше времени велосипедиста, т.e.

$$\begin{gathered} \frac{60}{x}<\frac{10}{3} /·3x \\ 60·3<10x \\ x>\frac{180}{10} \\ x>18 \end{gathered}$$

Ответ: более 18км/ч

Для решения этой задачи нужно определить, при какой скорости мотоциклиста время, которое ему потребуется, чтобы догнать велосипедиста, будет меньше времени, за которое велосипедист доедет до станции. Решим задачу по шагам.

1. Найдем время, за которое велосипедист доедет от фермы до станции.

Велосипедисту необходимо преодолеть расстояние от фермы до станции, равное 40 км. Его скорость составляет 12 км/ч. Время $t_в$, которое потребуется велосипедисту на этот путь, вычисляется по формуле:
$t_в = \frac{S}{v} = \frac{40 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{10}{3} \text{ часа}$.
Это составляет $3 \frac{1}{3}$ часа, или 3 часа и 20 минут.
Согласно условию, мотоциклист должен догнать велосипедиста до его приезда на станцию. Следовательно, время, через которое они встретятся ($t_{встречи}$), должно быть строго меньше времени, которое велосипедист потратит на дорогу до станции:
$t_{встречи} < \frac{10}{3} \text{ часа}$.

2. Составим уравнение для времени встречи.

Мотоциклист и велосипедист начинают движение одновременно. В начальный момент времени мотоциклист находится в деревне, а велосипедист — на ферме. Начальное расстояние между ними равно расстоянию от деревни до фермы, то есть 20 км.
Поскольку мотоциклист догоняет велосипедиста, их скорость сближения $v_{сбл}$ будет равна разности их скоростей. Обозначим искомую скорость мотоциклиста как $v_м$.
$v_{сбл} = v_м - v_в = v_м - 12$ км/ч.
Для того чтобы мотоциклист мог догнать велосипедиста, его скорость должна быть больше скорости велосипедиста, то есть $v_м > 12$ км/ч.
Время до встречи ($t_{встречи}$) можно рассчитать, разделив начальное расстояние на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{S_{начальное}}{v_{сбл}} = \frac{20}{v_м - 12}$.

3. Найдем требуемую скорость мотоциклиста.

Теперь объединим два полученных условия. Подставим выражение для времени встречи во временное неравенство:
$\frac{20}{v_м - 12} < \frac{10}{3}$
Так как мы установили, что $v_м > 12$, знаменатель $(v_м - 12)$ является положительным числом. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $3 \cdot (v_м - 12)$, не меняя при этом знака неравенства:
$20 \cdot 3 < 10 \cdot (v_м - 12)$
$60 < 10v_м - 120$
Перенесем 120 в левую часть неравенства:
$60 + 120 < 10v_м$
$180 < 10v_м$
Разделим обе части на 10:
$18 < v_м$
Таким образом, скорость мотоциклиста должна быть больше 18 км/ч.

Ответ: Скорость мотоциклиста должна быть больше 18 км/ч.

1052. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его периметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом сантиметров?

Пусть x см – боковая сторона равнобедренного треугольника

$P_{ABC}=2x+20\le 46P\_\{ABC\}=2x+20\; \backslash le\; 46$см.

Используя неравенство треугольника составим и решим систему неравенств

$\left\{\begin{array}{l}2x+20\le 46\\ 2x>20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\le 26\\ x>10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 13\\ x>10\end{array}\right.$

Ответ: 11 см, 12 см, 13 см

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим длину его основания как $a$, а длину боковой стороны как $b$.

Из условия задачи известно, что:

1. Длина основания $a = 20$ см.

2. Периметр $P$ не превосходит 46 см, то есть $P \le 46$ см.

3. Длина боковой стороны $b$ — целое число.

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле $P = a + 2b$. Подставив известные значения, получим неравенство:

$20 + 2b \le 46$

Решим это неравенство относительно $b$:

$2b \le 46 - 20$

$2b \le 26$

$b \le 13$

Таким образом, длина боковой стороны не может быть больше 13 см.

Также, согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Для равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$ наиболее важным является условие, что сумма длин двух боковых сторон больше длины основания:

$b + b > a$

Подставим значение основания $a = 20$ см:

$2b > 20$

$b > 10$

Итак, мы получили, что длина боковой стороны $b$ должна удовлетворять двойному неравенству:

$10 < b \le 13$

Поскольку по условию задачи $b$ должно быть целым числом, возможными значениями для длины боковой стороны являются целые числа, которые больше 10 и меньше или равны 13. Такими числами являются 11, 12 и 13.

Все эти значения удовлетворяют обоим условиям (и по периметру, и по неравенству треугольника).
При $b=11$ см, периметр $P=20+2(11)=42$ см, что не превосходит 46 см.
При $b=12$ см, периметр $P=20+2(12)=44$ см, что не превосходит 46 см.
При $b=13$ см, периметр $P=20+2(13)=46$ см, что не превосходит 46 см.

Ответ: Длина боковой стороны может быть 11 см, 12 см или 13 см.