Номер 1047, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1047, страница 231.

1047. При каких значениях m верно равенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left|2m-16\right|=2m-16 \\ 2m-16\ge 0 \\ 2m\ge 16 \\ m\ge 8 \end{gathered}$$

Ответ: при $m\ge 8$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\left|12-6m\right|}{12-6m}=1 \\ 12-6m>0 \\ 6m<12 \\ m<2 \end{gathered}$$

Ответ: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left|m+6\right|=-m-6 \\ m+6\le 0 \\ m\le -6 \end{gathered}$$

Ответ: при $m\le -6m\backslash le\; -6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{\left|10m-35\right|}{10m-35}=-1 \\ 10m-35<0 \\ 10m<35 \\ m<\mathrm{3,5} \end{gathered}$$

Ответ: при

а)

По определению модуля, равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$.

В данном случае $x = 2m - 16$. Следовательно, равенство $|2m - 16| = 2m - 16$ будет верным при выполнении условия:

$2m - 16 \ge 0$

Решим это линейное неравенство относительно $m$:

$2m \ge 16$

$m \ge \frac{16}{2}$

$m \ge 8$

Ответ: $m \ge 8$.

б)

Равенство вида $\frac{|x|}{x} = 1$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $x$ строго положительно ($x > 0$), так как знаменатель не может быть равен нулю.

В данном случае $x = 12 - 6m$. Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$12 - 6m > 0$

Решим это неравенство:

$-6m > -12$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$m < \frac{-12}{-6}$

$m < 2$

Ответ: $m < 2$.

в)

По определению модуля, равенство $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $x \le 0$.

Преобразуем правую часть исходного равенства: $-m - 6 = -(m + 6)$. Тогда равенство принимает вид $|m + 6| = -(m + 6)$.

В данном случае $x = m + 6$. Следовательно, равенство будет верным при выполнении условия:

$m + 6 \le 0$

Решим это линейное неравенство:

$m \le -6$

Ответ: $m \le -6$.

г)

Равенство вида $\frac{|x|}{x} = -1$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $x$ строго отрицательно ($x < 0$), так как знаменатель не может быть равен нулю.

В данном случае $x = 10m - 35$. Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$10m - 35 < 0$

Решим это неравенство:

$10m < 35$

$m < \frac{35}{10}$

$m < 3.5$

Ответ: $m < 3.5$.