Номер 1040, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1040, страница 230.

1040. При каких значениях а верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\frac{a-1}{4}-1>\frac{a+1}{3}+8 /·12 \\ 3(a-1)-12>4(a+1)+96 \\ 3a-3-12>4a+4+96 \\ 3a-15>4a+100 \\ 3a-4a>100+15 \\ -a>115 \\ a<-115 \end{gathered}$$

Ответ: $( - \infty ; - 115 )$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\frac{3a-1}{2}-\frac{a-1}{4}>0 /·4 \\ 2(3a-1)-(a-1)>0 \\ 6a-2-a+1>0 \\ 5a-1>0 \\ 5a>1 \\ a>\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Ответ: $( \frac{1}{5}; + \infty )$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\frac{1-2a}{4}-2<\frac{1-5a}{8} /·8 \\ 2(1-2a)-16<1-5a \\ 2-4a-16<1-5a \\ -4a-14<1-5a \\ -4a+5a<1+14 \\ a<15 \end{gathered}$$

Ответ: $( - \infty ; 15 )$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\frac{5a}{6}-\frac{3a-1}{3}+\frac{2a-1}{2}<1 /·6 \\ 5a-2(3a-1)+3(2a-1)<6 \\ 5a-6a+2+6a-3<6 \\ 5a-1<6 \\ 5a<7 \\ a<\frac{7}{5} \\ a<1,4 \end{gathered}$$

Ответ: $( - \infty ; 1 , 4 )$

а) Чтобы решить неравенство $ \frac{a-1}{4} - 1 > \frac{a+1}{3} + 8 $, избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12.
$ 12 \cdot (\frac{a-1}{4} - 1) > 12 \cdot (\frac{a+1}{3} + 8) $
$ 12 \cdot \frac{a-1}{4} - 12 \cdot 1 > 12 \cdot \frac{a+1}{3} + 12 \cdot 8 $
$ 3(a-1) - 12 > 4(a+1) + 96 $
Раскроем скобки:
$ 3a - 3 - 12 > 4a + 4 + 96 $
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$ 3a - 15 > 4a + 100 $
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а числа — в другую:
$ -15 - 100 > 4a - 3a $
$ -115 > a $
Это неравенство равносильно $ a < -115 $.
Ответ: $ a < -115 $.

б) Решим неравенство $ \frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4} > 0 $. Умножим обе части на общий знаменатель 4.
$ 4 \cdot (\frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4}) > 4 \cdot 0 $
$ 2(3a-1) - (a-1) > 0 $
Раскроем скобки:
$ 6a - 2 - a + 1 > 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 5a - 1 > 0 $
Перенесем свободный член в правую часть:
$ 5a > 1 $
Разделим обе части на 5:
$ a > \frac{1}{5} $
Ответ: $ a > \frac{1}{5} $.

в) Решим неравенство $ \frac{1-2a}{4} - 2 < \frac{1-5a}{8} $. Умножим обе части на общий знаменатель 8.
$ 8 \cdot (\frac{1-2a}{4} - 2) < 8 \cdot \frac{1-5a}{8} $
$ 2(1-2a) - 16 < 1-5a $
Раскроем скобки:
$ 2 - 4a - 16 < 1-5a $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ -4a - 14 < 1 - 5a $
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:
$ -4a + 5a < 1 + 14 $
$ a < 15 $
Ответ: $ a < 15 $.

г) Решим неравенство $ \frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2} < 1 $. Умножим обе части на общий знаменатель 6.
$ 6 \cdot (\frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2}) < 6 \cdot 1 $
$ 5a - 2(3a-1) + 3(2a-1) < 6 $
Раскроем скобки:
$ 5a - 6a + 2 + 6a - 3 < 6 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ (5a - 6a + 6a) + (2 - 3) < 6 $
$ 5a - 1 < 6 $
Перенесем свободный член в правую часть:
$ 5a < 7 $
Разделим обе части на 5:
$ a < \frac{7}{5} $
Ответ: $ a < \frac{7}{5} $.