Номер 1036, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1036, страница 230.

1036. Найдите пересечение и объединение:

а) множества целых чисел и множества положительных чисел;

б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел.

а) Z - множество целых чисел

A={x, x>0}

Z∩A=N, где N - множество натуральних чисел

Z∪A=Z + нецелые положительные

б) Пересечением множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел является множество простых чисел без 2, начиная с 3

Объединением множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел является множество нечётных натуральных чисел и число 2.

а)

Обозначим множество целых чисел через $Z$, а множество положительных чисел — через $A$. Множество целых чисел включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. В контексте школьной математики, когда одно из множеств — целые числа, под "положительными числами" обычно понимают положительные целые числа, то есть натуральные числа. Таким образом, $A$ — это множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Пересечение множеств $Z \cap N$ — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и $Z$, и $N$. Поскольку все натуральные числа являются целыми, их общими элементами будут сами натуральные числа.
$Z \cap N = \{1, 2, 3, ...\} = N$.
Таким образом, пересечением является множество натуральных чисел.

Объединение множеств $Z \cup N$ — это множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств $Z$ или $N$. Так как множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$ (то есть $N \subset Z$), их объединение равно самому множеству $Z$.
$Z \cup N = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} = Z$.
Таким образом, объединением является множество целых чисел.

Ответ: Пересечение — множество натуральных чисел, объединение — множество целых чисел.

б)

Обозначим множество простых чисел через $P$, а множество нечётных натуральных чисел — через $O$.
Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два делителя: 1 и само себя. $P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$.
Нечётные натуральные числа — это числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. $O = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...\}$.

Пересечение множеств $P \cap O$ — это множество чисел, которые являются одновременно и простыми, и нечётными. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа — нечётные. Следовательно, пересечение этих множеств содержит все простые числа, кроме 2.
$P \cap O = \{3, 5, 7, 11, 13, ...\} = P \setminus \{2\}$.
Таким образом, пересечением является множество всех простых чисел, кроме 2.

Объединение множеств $P \cup O$ — это множество, содержащее все элементы из $P$ и все элементы из $O$. В него войдут все нечётные натуральные числа (и простые, и составные, и число 1) и все простые числа. Так как все нечётные простые числа уже содержатся в множестве $O$, для получения объединения достаточно к множеству нечётных натуральных чисел $O$ добавить те простые числа из $P$, которые не являются нечётными. Такое число только одно — 2.
$P \cup O = O \cup \{2\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...\}$.
Таким образом, объединением является множество всех нечётных натуральных чисел вместе с числом 2.

Ответ: Пересечение — множество всех простых чисел, за исключением числа 2; объединение — множество всех нечётных натуральных чисел и число 2.