Номер 1035, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1035, страница 229.

1035. Верно ли, что:

а) $\left(-5; 5\right)\cap \left(-3; 2\right)=\left(-3; 2\right)$

Ответ: верно

б) $\left(4; 11\right)\cup \left(0; 6\right)=\left(4; 6\right)(4;11)\; \backslash cup\; (0;6)=(4;6)$

$\left(4; 11\right)\cup \left(0; 6\right)=\left(0; 11\right)\mathrm{\ne }\left(4; 6\right)(4;11)\; \backslash cup\; (0;6)=(0;11)\; \backslash neq\; (4;6)$

Ответ: неверно

 

в) $\left(-\mathrm{\infty }; 4\right)\cup \left(1; +\mathrm{\infty }\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right)(-\backslash infty;4)\; \backslash cup\; (1;+\backslash infty)=(-\backslash infty;+\backslash infty)$

Ответ: верно

г) $\left(-\mathrm{\infty }; 2\right)\cap \left(-2; +\mathrm{\infty }\right)=\left(-2; 2\right)(-\backslash infty;2)\; \backslash cap\; (-2;+\backslash infty)=(-2;2)$

Ответ: верно

а) Требуется проверить истинность равенства $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2)$.

Знак $\cap$ обозначает операцию пересечения множеств. Результатом пересечения двух интервалов является новый интервал, содержащий все числа, которые принадлежат обоим исходным интервалам одновременно.

Первый интервал $(-5; 5)$ представляет собой множество всех чисел $x$, таких что $-5 < x < 5$.
Второй интервал $(-3; 2)$ представляет собой множество всех чисел $x$, таких что $-3 < x < 2$.

Чтобы найти пересечение, нужно решить систему неравенств:
$ \begin{cases} -5 < x < 5 \\ -3 < x < 2 \end{cases} $
Общим решением этой системы является интервал, где оба неравенства выполняются. Это происходит, когда $x$ больше, чем большее из левых границ ( $\max(-5, -3) = -3$ ), и меньше, чем меньшее из правых границ ( $\min(5, 2) = 2$ ).
Таким образом, $ -3 < x < 2 $, что соответствует интервалу $(-3; 2)$.
Равенство в условии задачи верно.

Ответ: да, верно.

б) Требуется проверить истинность равенства $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6)$.

Знак $\cup$ обозначает операцию объединения множеств. Результатом объединения двух интервалов является множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из исходных интервалов.

Первый интервал $(4; 11)$ — это множество чисел $x$ таких, что $4 < x < 11$.
Второй интервал $(0; 6)$ — это множество чисел $x$ таких, что $0 < x < 6$.

Объединение этих двух интервалов включает все числа из первого интервала и все числа из второго. Поскольку эти интервалы перекрываются (на участке от 4 до 6), их объединение будет представлять собой один сплошной интервал, начинающийся с наименьшей границы (0) и заканчивающийся наибольшей границей (11).
То есть, $(4; 11) \cup (0; 6) = (0; 11)$.
В условии задачи указан результат $(4; 6)$, который является пересечением этих интервалов, а не их объединением. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) Требуется проверить истинность равенства $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Мы находим объединение двух лучей. Первый интервал $(-\infty; 4)$ — это все числа $x$, такие что $x < 4$.
Второй интервал $(1; +\infty)$ — это все числа $x$, такие что $x > 1$.

Объединение этих множеств будет содержать все числа, которые меньше 4, а также все числа, которые больше 1. Поскольку эти два луча перекрываются (на интервале $(1; 4)$), их объединение покроет всю числовую прямую. Любое действительное число попадает хотя бы в один из этих интервалов.
Например, число $0 < 4$, число $5 > 1$, число $3$ удовлетворяет обоим условиям. Таким образом, объединение $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty)$ дает множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Равенство в условии задачи верно.

Ответ: да, верно.

г) Требуется проверить истинность равенства $(-\infty; 2) \cap (-2; +\infty) = (-2; 2)$.

Мы находим пересечение двух числовых лучей. Первый интервал $(-\infty; 2)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $x < 2$.
Второй интервал $(-2; +\infty)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $x > -2$.

Пересечение этих множеств содержит числа $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x < 2$ и $x > -2$.
Эту систему неравенств можно записать в виде двойного неравенства: $-2 < x < 2$.
Это неравенство определяет интервал $(-2; 2)$.
Равенство в условии задачи верно.

Ответ: да, верно.