Номер 1028, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1028, страница 229.

1028. Известно, что 12 ≤ y ≤ 16. Оцените значение выражения:

12≤y≤16

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} 12\le y\le 16 \\ 12·\left(-\mathrm{0,5}\right)\ge -\mathrm{0,5}y\ge -\mathrm{0,5}·16 \\ -6\ge -\mathrm{0,5}y\ge -8 \\ -8\le -\mathrm{0,5}y\le -6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}12·\left(-2\right)\ge -2y\ge 16·\left(-2\right) \\ -24\ge -2y\ge -32 \\ -32\le -2y\le -24 \\ -32+42\le 42-2y\le -24+42 \\ 10\le 42-2y\le 18 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{1}{12}\ge \frac{1}{y}\ge \frac{1}{16} \\ \frac{1}{16}\le \frac{1}{y}\le \frac{1}{12} \\ 2\frac{1}{16}\le \frac{1}{y}+2\le 2\frac{1}{12} \end{gathered}$$

а) Нам дано неравенство $12 \le y \le 16$. Чтобы оценить выражение $-0,5y$, умножим все части этого двойного неравенства на $-0,5$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$12 \cdot (-0,5) \ge -0,5y \ge 16 \cdot (-0,5)$
$-6 \ge -0,5y \ge -8$
Для удобства записи поменяем местами левую и правую части, чтобы неравенство было записано от меньшего числа к большему:
$-8 \le -0,5y \le -6$
Ответ: $-8 \le -0,5y \le -6$.

б) Чтобы оценить выражение $42 - 2y$, выполним преобразования с исходным неравенством $12 \le y \le 16$.
Сначала умножим все части на $-2$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$12 \cdot (-2) \ge -2y \ge 16 \cdot (-2)$
$-24 \ge -2y \ge -32$
Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-32 \le -2y \le -24$
Теперь прибавим ко всем частям неравенства число 42:
$42 - 32 \le 42 - 2y \le 42 - 24$
$10 \le 42 - 2y \le 18$
Ответ: $10 \le 42 - 2y \le 18$.

в) Для оценки выражения $\frac{1}{y} + 2$ начнем с неравенства $12 \le y \le 16$.
Поскольку все части неравенства положительны ($y > 0$), мы можем найти обратные им величины. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{12} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{16}$
Запишем в стандартном виде:
$\frac{1}{16} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{12}$
Теперь прибавим ко всем частям число 2:
$2 + \frac{1}{16} \le 2 + \frac{1}{y} \le 2 + \frac{1}{12}$
$2\frac{1}{16} \le 2 + \frac{1}{y} \le 2\frac{1}{12}$
Ответ: $2\frac{1}{16} \le \frac{1}{y} + 2 \le 2\frac{1}{12}$.