Номер 1021, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1021, страница 228.

1021. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?

Примем расстояние от посёлка до города за 1. Тогда Смирнов затратил на весь путь $\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{2}{15}\text{(ч),}$ а Антонов $\frac{1}{16}+\frac{1}{14}=\frac{30}{224}=\frac{15}{112}\text{(ч)}$

Сравними $\frac{2}{15}\backslash frac\{2\}\{15\}$ и $\frac{15}{112}$

$$\begin{gathered} \frac{2·112}{15·112}<\frac{15·15}{15·112} \\ \frac{224}{15·112}<\frac{225}{15·112} \end{gathered}$$

Ответ: Смирнов

Для решения этой задачи нам необходимо сравнить общее время, затраченное каждым велосипедистом на дорогу из посёлка в город и обратно. Время, которое они провели в городе, одинаково для обоих, поэтому его можно не учитывать при сравнении, так как оно не повлияет на то, кто вернется раньше. Нам нужно сравнить только время в пути.

Обозначим расстояние от посёлка до города как $S$ км.

Расчет времени для Смирнова

Скорость Смирнова была постоянной и равнялась $v_{С} = 15$ км/ч.
Время, затраченное Смирновым на дорогу в город: $t_{С1} = \frac{S}{15}$ ч.
Время, затраченное Смирновым на дорогу обратно в посёлок: $t_{С2} = \frac{S}{15}$ ч.
Общее время в пути для Смирнова:
$T_{С} = t_{С1} + t_{С2} = \frac{S}{15} + \frac{S}{15} = \frac{2S}{15}$ ч.

Расчет времени для Антонова

Скорость Антонова на пути в город была на 1 км/ч больше, чем у Смирнова:
$v_{А1} = 15 + 1 = 16$ км/ч.
Время, затраченное Антоновым на дорогу в город: $t_{А1} = \frac{S}{16}$ ч.
Скорость Антонова на обратном пути была на 1 км/ч меньше, чем у Смирнова:
$v_{А2} = 15 - 1 = 14$ км/ч.
Время, затраченное Антоновым на дорогу обратно в посёлок: $t_{А2} = \frac{S}{14}$ ч.
Общее время в пути для Антонова:
$T_{А} = t_{А1} + t_{А2} = \frac{S}{16} + \frac{S}{14}$ ч.

Сравнение времени в пути

Теперь сравним общее время в пути Смирнова $T_{С}$ и Антонова $T_{А}$. Нам нужно сравнить дроби $\frac{2S}{15}$ и $\frac{S}{16} + \frac{S}{14}$. Поскольку $S > 0$, мы можем сравнить выражения $\frac{2}{15}$ и $\frac{1}{16} + \frac{1}{14}$.
Приведем сумму дробей для времени Антонова к общему знаменателю:
$\frac{1}{16} + \frac{1}{14} = \frac{14}{16 \times 14} + \frac{16}{16 \times 14} = \frac{14 + 16}{224} = \frac{30}{224}$.
Теперь сравним $\frac{2}{15}$ (время Смирнова) и $\frac{30}{224}$ (время Антонова).
Для удобства сравнения приведем дроби к общему числителю. Общий числитель — 30.
Для Смирнова: $\frac{2}{15} = \frac{2 \times 15}{15 \times 15} = \frac{30}{225}$.
Теперь сравним дроби $\frac{30}{225}$ и $\frac{30}{224}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь меньше, у которой знаменатель больше.
Поскольку $225 > 224$, то $\frac{30}{225} < \frac{30}{224}$.
Это означает, что $\frac{2}{15} < \frac{1}{16} + \frac{1}{14}$, и, следовательно, $T_{С} < T_{А}$.
Время, затраченное Смирновым на дорогу, меньше времени, затраченного Антоновым.

Вывод
Поскольку Смирнов потратил на дорогу туда и обратно меньше времени, чем Антонов, а в городе они пробыли одинаковое время, Смирнов вернулся в посёлок раньше.
Ответ: Смирнов вернулся в посёлок раньше.