Номер 1018, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1018, страница 227.

1018. а) Докажите, что при a > 3 значение выражения отрицательно.

б) Докажите, что при y > 1 значение выражения положительно.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)= \\ =\frac{{\left(a-3\right)}^2-{\left(a+3\right)}^2}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}\left(1+\frac{3}{a}\right)= \\ =\frac{a^2-6a+9-a^2-6a-9}{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}·\frac{a+3}{a}= \\ =\frac{-12a}{\left(a-3\right)a}=\frac{-12}{a-3}<0\text{ при }a>3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)= \\ =\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y(y-1)}+\frac{y-3}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\right)= \\ =\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\frac{y+1+y\left(y-3\right)}{y\left(y-1\right)\left(y+1\right)}= \\ =\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}·\frac{y\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{y^2+y+1-3y}= \\ =\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}·\frac{y\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{y^2-2y+1}= \\ =\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{{\left(y-1\right)}^2}=\frac{y^2+3-2\left(y+1\right)}{y-1}= \\ =\frac{y^2+3-2y-2}{y-1}=\frac{y^2-2y+1}{y-1}= \\ =\frac{{\left(y-1\right)}^2}{y-1}=y-1>0 \text{при }y>1 \end{gathered}$$

а)

Требуется доказать, что при $a > 3$ значение выражения $\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)$ отрицательно.
Сначала упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $(a+3)(a-3)$:
$\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3} = \frac{(a-3)(a-3) - (a+3)(a+3)}{(a+3)(a-3)} = \frac{(a-3)^2 - (a+3)^2}{a^2-9}$
Раскроем скобки в числителе по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\frac{((a-3)-(a+3))((a-3)+(a+3))}{a^2-9} = \frac{(a-3-a-3)(a-3+a+3)}{a^2-9} = \frac{(-6)(2a)}{a^2-9} = \frac{-12a}{a^2-9}$
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$1+\frac{3}{a} = \frac{a}{a}+\frac{3}{a} = \frac{a+3}{a}$
Теперь перемножим упрощенные выражения:
$\frac{-12a}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a} = \frac{-12a}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{a}$
Сократим дробь на $a$ и $(a+3)$. Так как по условию $a > 3$, то $a \ne 0$ и $a+3 \ne 0$.
$\frac{-12\cancel{a}}{(a-3)\cancel{(a+3)}} \cdot \frac{\cancel{a+3}}{\cancel{a}} = \frac{-12}{a-3}$
Теперь оценим знак полученного выражения при $a > 3$:
Числитель дроби равен -12, это отрицательное число.
Знаменатель дроби $a-3$. Поскольку $a > 3$, то $a-3 > 0$, то есть знаменатель положителен.
При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.
Следовательно, значение выражения $\frac{-12}{a-3}$ при $a > 3$ всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Требуется доказать, что при $y > 1$ значение выражения $\left(\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}\right):\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)$ положительно.
Упростим выражение по частям. Сначала выполним вычитание в первой скобке:
$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y} = \frac{y(y^2+3) - 2(y-1)}{y(y-1)} = \frac{y^3+3y-2y+2}{y(y-1)} = \frac{y^3+y+2}{y(y-1)}$
Теперь выполним сложение во второй скобке. Для этого разложим знаменатели на множители: $y^2-y = y(y-1)$ и $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.
$\frac{1}{y(y-1)}+\frac{y-3}{(y-1)(y+1)} = \frac{1(y+1) + y(y-3)}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y+1+y^2-3y}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y^2-2y+1}{y(y-1)(y+1)}$
Числитель полученной дроби является полным квадратом: $y^2-2y+1 = (y-1)^2$.
$\frac{(y-1)^2}{y(y-1)(y+1)}$
Сократим дробь на $(y-1)$. Так как по условию $y > 1$, то $y-1 \ne 0$.
$\frac{y-1}{y(y+1)}$
Теперь выполним деление:
$\frac{y^3+y+2}{y(y-1)} : \frac{y-1}{y(y+1)} = \frac{y^3+y+2}{y(y-1)} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1}$
Сократим на $y$ (так как $y > 1$, то $y \ne 0$) и сгруппируем знаменатели:
$\frac{(y^3+y+2)(y+1)}{(y-1)^2}$
Разложим многочлен в числителе $y^3+y+2$. Можно заметить, что при $y=-1$ он обращается в ноль, значит, $(y+1)$ является его множителем. Разделив $y^3+y+2$ на $(y+1)$, получим $(y^2-y+2)$. Таким образом, $y^3+y+2=(y+1)(y^2-y+2)$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(y+1)(y^2-y+2)(y+1)}{(y-1)^2} = \frac{(y+1)^2(y^2-y+2)}{(y-1)^2}$
Оценим знак полученного выражения при $y > 1$:
1. $(y-1)^2$: так как $y > 1$, то $y-1 > 0$, следовательно, $(y-1)^2 > 0$.
2. $(y+1)^2$: так как $y > 1$, то $y+1 > 0$, следовательно, $(y+1)^2 > 0$.
3. $y^2-y+2$: это квадратичная парабола с ветвями вверх. Ее дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1-8 = -7 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент положителен, этот трехчлен принимает только положительные значения при любом $y$.
Таким образом, все множители в числителе и знаменатель являются положительными числами. Произведение и частное положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, значение выражения при $y > 1$ всегда положительно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.