Номер 1013, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1013, страница 227.

1013. Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на 2 км/ч большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку?

Пусть x км/ч - намеченная скорость велосипедиста, но, так как, из посёлка в город он ехал со скоростью (x-2)км/ч, а из города в посёлок - со скоростью (x+2)км/ч, нужно узнать, успел ли он вернуться к назначенному сроку.

Примем путь из посёлка в город за 1, тогда $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right)\text{ч}=\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\right)\text{ч}$ - намеченный срок, а $\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{2}\right)\text{ч}$ - реальное время, которое потратил велосипедист на весь путь. Сравним

$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\backslash frac\{1\}\{x-2\}+\backslash frac\{1\}\{x+2\}$ и $\frac{2}{x}$

$\frac{x+2+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ и $\frac{2}{x}$

$\frac{2x}{x^2-4}>\frac{2x}{x^2}$

Значит, $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}>\frac{2}{x}$

$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{2}>\frac{2}{x}+\frac{1}{2}$, т.е. велосипедист не успел к намеченному сроку.

Ответ: не успел

Чтобы определить, успел ли велосипедист вернуться к назначенному сроку, нам нужно сравнить запланированное время всей поездки с фактическим. Поездка состоит из трех частей: дорога в город, пребывание в городе и дорога обратно. Время пребывания в городе (полчаса) в обоих случаях одинаково, поэтому для ответа на вопрос достаточно сравнить время, затраченное на дорогу туда и обратно.

Введем обозначения:

• $S$ — расстояние от поселка до города (в км).
• $v$ — намеченная скорость велосипедиста (в км/ч).

Из условия задачи следует, что скорость на пути из поселка в город была $v - 2$ км/ч. Чтобы скорость была положительной, необходимо условие $v > 2$.

1. Запланированное время в пути.

Велосипедист планировал ехать в город и обратно с одинаковой скоростью $v$. Время, которое он планировал потратить на дорогу (без учета остановки), равно:

$t_{план} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

2. Фактическое время в пути.

На пути из поселка в город велосипедист ехал со скоростью $v - 2$ км/ч, а обратно — со скоростью $v + 2$ км/ч. Фактическое время, затраченное на дорогу, составляет:

$t_{факт} = \frac{S}{v-2} + \frac{S}{v+2}$

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$t_{факт} = \frac{S(v+2) + S(v-2)}{(v-2)(v+2)} = \frac{Sv + 2S + Sv - 2S}{v^2 - 4^2} = \frac{2Sv}{v^2 - 4}$

3. Сравнение времени.

Теперь сравним запланированное время в пути $t_{план}$ и фактическое $t_{факт}$:

$t_{план} = \frac{2S}{v}$ и $t_{факт} = \frac{2Sv}{v^2 - 4}$

Чтобы сравнить эти два выражения, можно сравнить дроби $\frac{1}{v}$ и $\frac{v}{v^2 - 4}$ (поскольку $2S$ — общий положительный множитель).

Сравним $\frac{1}{v}$ и $\frac{v}{v^2 - 4}$. Приведем их к общему знаменателю $v(v^2-4)$:

$\frac{1 \cdot (v^2 - 4)}{v(v^2 - 4)}$ и $\frac{v \cdot v}{v(v^2 - 4)}$

Получаем: $\frac{v^2 - 4}{v(v^2 - 4)}$ и $\frac{v^2}{v(v^2 - 4)}$

Так как мы установили, что $v > 2$, то $v^2 > 4$, и знаменатель $v(v^2-4)$ будет положительным. Значит, для сравнения дробей достаточно сравнить их числители:

$v^2 - 4$ и $v^2$

Очевидно, что $v^2 - 4 < v^2$.

Из этого следует, что $\frac{1}{v} < \frac{v}{v^2 - 4}$, а значит, и $t_{план} < t_{факт}$.

Фактическое время, проведенное в пути, оказалось больше запланированного. Поскольку время остановки в городе было одинаковым, то и общее время всей поездки по факту оказалось больше, чем планировалось.

Ответ: Нет, велосипедист не успел вернуться в посёлок к назначенному сроку, он опоздал.