Номер 1008, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1008, страница 226.

1008. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.

${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^3\le \frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}, a>0, b>0$

Докажем, что ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^3\le \frac{a^3+b^3}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(a+b\right)}^3}{2}-\frac{a^3+b^3}{2}=\frac{{\left(a+b\right)}^3-4\left(a^3+b^3\right)}{8}= \\ =\frac{{\left(a+b\right)}^3-4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{8}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left({\left(a+b\right)}^2-4\left(a^2-ab+b^2\right)\right)}{8}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2-4a^2+4ab-4b^2\right)}{8}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left(-3a^2+6ab-3b^2\right)}{8}= \\ =\frac{-3\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)}{8}= \end{gathered}$$
$=\frac{-3\left(a+b\right){\left(a-b\right)}^2}{8}\le 0,$ так как $a>0, b>0$, то $a+b>0$

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных положительных числа, то есть $a > 0$ и $b > 0$.

Требуется доказать, что куб их полусуммы не превосходит полусуммы их кубов. Запишем это утверждение в виде математического неравенства:

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \le \frac{a^3+b^3}{2} $$

Для доказательства выполним равносильные преобразования этого неравенства. Сначала возведем в куб левую часть и раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$$ \frac{(a+b)^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} $$

$$ \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} $$

Теперь умножим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства при этом не изменится:

$$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \le 4(a^3+b^3) $$

$$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \le 4a^3 + 4b^3 $$

Перенесем все члены в правую часть неравенства и приведем подобные слагаемые:

$$ 0 \le 4a^3 - a^3 + 4b^3 - b^3 - 3a^2b - 3ab^2 $$

$$ 0 \le 3a^3 + 3b^3 - 3a^2b - 3ab^2 $$

Разделим обе части на положительное число 3:

$$ 0 \le a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 $$

Сгруппируем слагаемые в правой части и вынесем общие множители за скобки:

$$ 0 \le (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) $$

$$ 0 \le a^2(a - b) - b^2(a - b) $$

Вынесем общий множитель $(a - b)$:

$$ 0 \le (a-b)(a^2 - b^2) $$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ 0 \le (a-b)(a-b)(a+b) $$

$$ 0 \le (a-b)^2(a+b) $$

Проанализируем полученное неравенство. По условию задачи, числа $a$ и $b$ положительны, следовательно, их сумма $a+b$ также строго положительна: $a+b > 0$.

Выражение $(a-b)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, который всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю): $(a-b)^2 \ge 0$.

Произведение неотрицательного числа $(a-b)^2$ и положительного числа $(a+b)$ всегда будет неотрицательным. Следовательно, неравенство $(a-b)^2(a+b) \ge 0$ является верным для любых положительных $a$ и $b$.

Поскольку мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство также является верным. Равенство в нем достигается в том случае, когда $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $ \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \le \frac{a^3+b^3}{2} $ выполняется для любых положительных чисел $a$ и $b$.