Номер 1015, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1015, страница 227.

1015. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(x+1\right)}^{\mathbf{2}}\ge 4x \\ {x}^2+2x+1-4x=x^2-2x+1={\left(x-1\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{\left(3b+1\right)}^{\mathbf{2}}>6b \\ 9b^2+6b+1-6b=9b^2+1>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}4\left(x+2\right)<{\left(x+3\right)}^2-2x \\ 4x+8<x^2+6x+9-2x \\ 4x+8-x^2-4x-9<0 \\ -x^2-1<0 \\ -\left(x^2+1\right)<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}1+{\left(m+2\right)}^2>3\left(2m-1\right) \\ 1+m^2+4m+4>6m-3 \\ {m}^2+4m+5-6m+3=m^2-2m+8= \\ =\left(m^2-2m+1\right)+7={\left(m-1\right)}^2+7>0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства неравенства $(x + 1)^2 \ge 4x$ выполним равносильные преобразования. Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2x + 1 \ge 4x$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$x^2 + 2x + 1 - 4x \ge 0$
$x^2 - 2x + 1 \ge 0$
Полученное выражение в левой части является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть всегда больше или равен нулю. Таким образом, последнее неравенство справедливо для любого значения $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $(3b + 1)^2 > 6b$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы:
$(3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 > 6b$
$9b^2 + 6b + 1 > 6b$
Перенесем $6b$ в левую часть и упростим выражение:
$9b^2 + 6b - 6b + 1 > 0$
$9b^2 + 1 > 0$
Для любого действительного числа $b$ его квадрат $b^2$ является неотрицательным, то есть $b^2 \ge 0$. Следовательно, $9b^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу $9b^2$ прибавить 1, результат всегда будет положительным: $9b^2 + 1 \ge 1 > 0$.
Таким образом, неравенство верно при любом значении $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $4(x + 2) < (x + 3)^2 - 2x$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$4x + 8 < (x^2 + 6x + 9) - 2x$
Упростим правую часть:
$4x + 8 < x^2 + 4x + 9$
Перенесем все слагаемые в одну сторону (например, в правую), чтобы получить неравенство с нулем:
$0 < x^2 + 4x + 9 - 4x - 8$
$0 < x^2 + 1$
Это неравенство равносильно неравенству $x^2 + 1 > 0$.
Так как квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то сумма $x^2 + 1$ всегда будет не меньше 1 ($x^2 + 1 \ge 1$), а значит, всегда строго больше нуля.
Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $1 + (m + 2)^2 > 3(2m - 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$1 + (m^2 + 4m + 4) > 6m - 3$
$m^2 + 4m + 5 > 6m - 3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$m^2 + 4m + 5 - 6m + 3 > 0$
$m^2 - 2m + 8 > 0$
Чтобы доказать это неравенство, выделим в левой части полный квадрат:
$(m^2 - 2m + 1) - 1 + 8 > 0$
$(m - 1)^2 + 7 > 0$
Выражение $(m-1)^2$ как квадрат действительного числа всегда больше или равно нулю. Если к неотрицательному числу прибавить 7, результат будет не меньше 7, то есть $(m-1)^2 + 7 \ge 7$.
Поскольку $7 > 0$, то и $(m-1)^2 + 7$ всегда больше нуля. Неравенство справедливо при любом значении $m$.
Ответ: Неравенство доказано.