Номер 1011, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1011, страница 227.

1011. Докажите, что если x + y + z = 1, то

$$\begin{gathered} \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5 \\ \sqrt{4x+1}\le \sqrt{4x^2+4x+1}=\sqrt{{\left(2x+1\right)}^2}=\left|2x+1\right| \\ \sqrt{4y+1}\le \sqrt{4y^2+4y+1}=\sqrt{{\left(2y+1\right)}^2}=\left|2y+1\right| \\ \sqrt{4z+1}\le \sqrt{4z^2+4z+1}=\sqrt{{\left(2z+1\right)}^2}=\left|2z+1\right| \\ \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le \left|2x+1\right|+ \\ +\left|2y+1\right|+\left|2z+1\right| \end{gathered}$$

Так как

$$\begin{gathered} 4x+1\ge 0; \\ 4x\ge -1 \\ x\ge -\frac{1}{4} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 4y+1\ge 0; \\ 4y\ge -1 \\ y\ge -\frac{1}{4} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 4z+1\ge 0 \\ 4z\ge -1 \\ z\ge -\frac{1}{4} \end{gathered}$$

то $2x+1>02x+1>0, 2y+1>02y+1>0, 2z+1>02z+1>0$

Значит, $$\begin{gathered} \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 2x+1+ \\ +2y+1+2z+1=2(x+y+z)+3 \end{gathered}$$

Если x+y+z=1, то $\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5$

Для того чтобы выражения под знаком корня были определены, необходимо выполнение условий $4x+1 \ge 0$, $4y+1 \ge 0$ и $4z+1 \ge 0$. Отсюда следует, что $x \ge -1/4$, $y \ge -1/4$ и $z \ge -1/4$.

Рассмотрим и докажем вспомогательное неравенство $\sqrt{4t+1} \le 2t+1$ для всех $t \ge -1/4$. При $t \ge -1/4$ обе части этого неравенства неотрицательны, так как $2t+1 \ge 2(-1/4)+1 = -1/2+1 = 1/2 > 0$. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{4t+1})^2 \le (2t+1)^2$. Это эквивалентно $4t+1 \le 4t^2 + 4t + 1$, что упрощается до $0 \le 4t^2$. Данное неравенство очевидно верно для любого действительного $t$, а значит, вспомогательное неравенство $\sqrt{4t+1} \le 2t+1$ доказано для всех $t \ge -1/4$.

Поскольку переменные $x, y, z$ удовлетворяют необходимым условиям, мы можем применить доказанное неравенство для каждого слагаемого в исходном выражении: $\sqrt{4x+1} \le 2x+1$, $\sqrt{4y+1} \le 2y+1$, $\sqrt{4z+1} \le 2z+1$.

Складывая эти три неравенства, получаем: $\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le (2x+1) + (2y+1) + (2z+1)$. Преобразуем правую часть: $2x+2y+2z+3 = 2(x+y+z) + 3$.

Используя условие задачи $x+y+z=1$, имеем: $2(x+y+z) + 3 = 2(1) + 3 = 5$.

Таким образом, мы приходим к окончательному результату: $\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le 5$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.