Номер 1006, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1006, страница 226.

1006. Докажите, что при a > 0 и b > 0 верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(a+b\right)\left(ab+16\right)\ge 16ab \\ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}; a+b\ge 2\sqrt{ab} \\ \frac{ab+16}{2}\ge \sqrt{16ab}; ab+16\ge 2\sqrt{16ab} \\ \underline{\times \begin{array}{l}a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ ab+16\ge 2\sqrt{16ab}\end{array}} \\ \left(a+b\right)\left(ab+16\right)\ge 4\sqrt{16ab}\sqrt{ab} \\ \left(a+b\right)\left(ab+16\right)\ge 16ab \text{при} a>0, b>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(a^2+4b\right)\left(4b+25\right)\ge 80ab \\ \frac{a^2+4b}{2}\ge \sqrt{4a^{2}b} a^2+4b\ge 2\sqrt{4a^{2}b} \\ \frac{4b+25}{2}\ge \sqrt{4·25·b} 4b+25\ge 2\sqrt{100b} \\ 4b+25\ge 2\sqrt{100b} \\ \underline{\times \begin{array}{c}{a}^2+4b\ge 2·2a\sqrt{b}\\ 4b+25\ge 2·10\sqrt{b}\end{array}} \\ \left(a^2+4b\right)\left(4b+25\right)\ge 80ab \text{при} a>0, b>0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства неравенства $(a + b)(ab + 16) \ge 16ab$ воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши), которое для двух положительных чисел $x$ и $y$ выглядит так: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$.
Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем применить это неравенство к каждой из скобок в левой части доказываемого неравенства.

1. Для первой скобки $(a + b)$:
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

2. Для второй скобки $(ab + 16)$:
$ab + 16 \ge 2\sqrt{ab \cdot 16} = 2 \cdot 4\sqrt{ab} = 8\sqrt{ab}$

Поскольку обе части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить:
$(a + b)(ab + 16) \ge (2\sqrt{ab})(8\sqrt{ab})$
$(a + b)(ab + 16) \ge 16(\sqrt{ab})^2$
$(a + b)(ab + 16) \ge 16ab$
Что и требовалось доказать. Равенство достигается при $a = b$ и $ab = 16$, то есть при $a = b = 4$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80ab$ также используем неравенство Коши: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$ для $x, y > 0$.
По условию $a > 0$ и $b > 0$, значит все слагаемые в скобках положительны.

1. Применим неравенство к первой скобке $(a^2 + 4b)$:
$a^2 + 4b \ge 2\sqrt{a^2 \cdot 4b} = 2\sqrt{4a^2b} = 2 \cdot 2a\sqrt{b} = 4a\sqrt{b}$

2. Применим неравенство ко второй скобке $(4b + 25)$:
$4b + 25 \ge 2\sqrt{4b \cdot 25} = 2\sqrt{100b} = 2 \cdot 10\sqrt{b} = 20\sqrt{b}$

Теперь перемножим левые и правые части полученных неравенств (все они положительны):
$(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge (4a\sqrt{b})(20\sqrt{b})$
$(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80a(\sqrt{b})^2$
$(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80ab$
Что и требовалось доказать. Равенство достигается при $a^2 = 4b$ и $4b = 25$, то есть при $a=5$ и $b = \frac{25}{4}$.
Ответ: Неравенство доказано.