Номер 1009, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1009, страница 226.

1009. Докажите, что если a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

$$\begin{gathered} \sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd} \\ {\left(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\right)}^2\ge {\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)}^2 \\ \left(a+c\right)\left(b+d\right)\ge ab+2\sqrt{abcd}+cd \\ \cancel{ab}+da+bc+\bcancel{cd}\ge \cancel{ab}+2\sqrt{abcd}+\bcancel{cd} \\ ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}, \end{gathered}$$

если $a>0a>0, b>0b>0, c>0c>0, d>0d>0$

Данное неравенство нужно доказать для $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$.

Поскольку обе части неравенства, $\sqrt{(a+c)(b+d)}$ и $\sqrt{ab} + \sqrt{cd}$, являются положительными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства.

Исходное неравенство:

$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{(a+c)(b+d)})^2 \ge (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2$

Раскрываем скобки в левой и правой частях. В правой части используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a+c)(b+d) \ge (\sqrt{ab})^2 + 2(\sqrt{ab})(\sqrt{cd}) + (\sqrt{cd})^2$

$ab + ad + bc + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd$

Теперь вычтем из обеих частей неравенства слагаемые $ab$ и $cd$, которые присутствуют и слева, и справа:

$ad + bc \ge 2\sqrt{abcd}$

Полученное неравенство является частным случаем неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x = ad$ и $y = bc$. Докажем его справедливость. Перенесем все члены в левую часть:

$ad - 2\sqrt{abcd} + bc \ge 0$

Заметим, что левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$(\sqrt{ad})^2 - 2\sqrt{ad}\sqrt{bc} + (\sqrt{bc})^2 \ge 0$

$(\sqrt{ad} - \sqrt{bc})^2 \ge 0$

Это неравенство является истинным для любых действительных значений $a, b, c, d$, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю.

Поскольку мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований (возведение в квадрат положительных чисел, сложение/вычитание), то и исходное неравенство также верно.

Что и требовалось доказать.

Альтернативное решение (с использованием неравенства Коши-Буняковского-Шварца):

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для двух векторов $\vec{x}=(x_1, x_2)$ и $\vec{y}=(y_1, y_2)$ гласит: $x_1y_1+x_2y_2 \le \sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2}$.

Выберем векторы $\vec{x} = (\sqrt{a}, \sqrt{c})$ и $\vec{y} = (\sqrt{b}, \sqrt{d})$. Так как $a, b, c, d > 0$, их компоненты являются действительными положительными числами.

Левая часть неравенства Коши-Буняковского-Шварца для этих векторов:

$x_1y_1+x_2y_2 = \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{c}\sqrt{d} = \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$

Правая часть:

$\sqrt{x_1^2+x_2^2} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{c})^2} = \sqrt{a+c}$

$\sqrt{y_1^2+y_2^2} = \sqrt{(\sqrt{b})^2 + (\sqrt{d})^2} = \sqrt{b+d}$

Произведение этих выражений: $\sqrt{a+c}\sqrt{b+d} = \sqrt{(a+c)(b+d)}$.

Подставляя эти результаты в неравенство Коши-Буняковского-Шварца, получаем:

$\sqrt{ab} + \sqrt{cd} \le \sqrt{(a+c)(b+d)}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.