Номер 1005, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1005, страница 226.

1005. Докажите, что если x > 0 и y > 0, то:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \\ \frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}-\frac{x+y}{xy}= \\ =\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)}{x^2{y}^2}= \\ =\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)}{x^2{y}^2}=\frac{\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}{x^2{y}^2} \end{gathered}$$

Т.к. $x>0x>0, y>0y>0$, то $x+y\ge 0x+y\; \backslash ge\; 0$

Значит, $\frac{\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}{x^2{y}^2}\ge 0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y \\ \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-\left(x+y\right)=\frac{x^3+y^3-xy\left(x+y\right)}{xy}= \\ =\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)}{xy}= \\ =\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)}{xy}=\frac{\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}{xy} \end{gathered}$$

T.к. $x>0x>0, y>0y>0$, то $x+y\ge 0x+y\; \backslash ge\; 0$

Значит, $\frac{\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}{xy}\ge 0$

а) Требуется доказать неравенство $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ при заданных условиях $x > 0$ и $y > 0$.

Для доказательства преобразуем неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2$. Поскольку по условию $x > 0$ и $y > 0$, то их произведение $x^2y^2$ также строго положительно.

$\frac{x \cdot x^2 + y \cdot y^2 - 1 \cdot xy^2 - 1 \cdot x^2y}{x^2y^2} \ge 0$

$\frac{x^3 + y^3 - x^2y - xy^2}{x^2y^2} \ge 0$

Знаменатель $x^2y^2$ положителен, следовательно, неравенство равносильно неравенству для числителя:

$x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$(x^3 - x^2y) + (y^3 - xy^2) \ge 0$

$x^2(x - y) + y^2(y - x) \ge 0$

$x^2(x - y) - y^2(x - y) \ge 0$

$(x^2 - y^2)(x - y) \ge 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + y)(x - y)(x - y) \ge 0$

$(x + y)(x - y)^2 \ge 0$

Полученное неравенство истинно для любых $x > 0$ и $y > 0$, так как:

1. Сумма двух положительных чисел $(x+y)$ всегда положительна.
2. Квадрат любого действительного числа $(x-y)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-y)^2 \ge 0$.

Произведение положительного числа и неотрицательного числа всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \ge x + y$ при заданных условиях $x > 0$ и $y > 0$.

Как и в предыдущем пункте, преобразуем неравенство, перенеся все члены в левую часть:

$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} - (x+y) \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $xy$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, знаменатель $xy > 0$.

$\frac{x^2 \cdot x + y^2 \cdot y - (x+y) \cdot xy}{xy} \ge 0$

$\frac{x^3 + y^3 - x^2y - xy^2}{xy} \ge 0$

Поскольку знаменатель $xy$ положителен, данное неравенство эквивалентно следующему:

$x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \ge 0$

Мы получили то же самое выражение, что и в числителе в пункте а). Разложим его на множители, как было сделано ранее:

$x^2(x - y) - y^2(x - y) = (x^2 - y^2)(x - y) = (x+y)(x-y)^2$

Таким образом, мы должны доказать верность неравенства:

$(x + y)(x - y)^2 \ge 0$

Как было показано в пункте а), это неравенство верно для любых $x > 0$ и $y > 0$, поскольку множитель $(x+y)$ строго положителен, а множитель $(x-y)^2$ неотрицателен. Все преобразования были равносильными, следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.