Номер 1012, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1012, страница 227.

1012. Докажите, что при любом а, большем 1, верно неравенство

При a>1 верно равенство

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)= \\ ={\left(\sqrt{a+1}\right)}^2-{\left(\sqrt{a-1}\right)}^2=a+1-a+1=2 \\ \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}=\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+1}} \left(1\right) \end{gathered}$$

Домножим обе части неравенства

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{a}}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\text{ на }\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} \\ \frac{1}{\sqrt{a}}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)<\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)\times \\ \times \left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right) \\ \frac{1}{\sqrt{a}}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)<2 \end{gathered}$$

$\frac{1}{\sqrt{a}}<\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}$используя равенство (1) получим:

$\frac{1}{\sqrt{a}}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1},$ что и требовалось доказать

Для доказательства неравенства $\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}$ при $a > 1$ проведем ряд равносильных преобразований.

По условию $a > 1$. Проверим знаки обеих частей неравенства.
Левая часть $\frac{1}{\sqrt{a}}$ очевидно положительна.
Для правой части: так как $a > 1$, то $a+1 > a-1 \ge 0$. Следовательно, $\sqrt{a+1} > \sqrt{a-1}$, а значит и разность $\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}$ является положительным числом.

Поскольку обе части неравенства строго положительны, мы можем выполнять такие преобразования, как возведение в квадрат или умножение на положительные выражения, при этом знак неравенства сохранится.

Преобразуем правую часть, умножив и разделив ее на сопряженное выражение $\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}$:
$\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} = \frac{(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})(\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1})}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} = \frac{(a+1) - (a-1)}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} = \frac{2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в равносильном виде:
$\frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}}$.

Так как все члены положительны, можно выполнить перекрестное умножение (что равносильно умножению обеих частей на положительное число $\sqrt{a}(\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1})$):
$\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1} < 2\sqrt{a}$.

Возведем обе положительные части полученного неравенства в квадрат:
$(\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1})^2 < (2\sqrt{a})^2$
$(a+1) + 2\sqrt{(a+1)(a-1)} + (a-1) < 4a$
$2a + 2\sqrt{a^2 - 1} < 4a$.

Упростим неравенство. Вычтем $2a$ из обеих частей:
$2\sqrt{a^2 - 1} < 2a$.
Разделим обе части на 2:
$\sqrt{a^2 - 1} < a$.

При $a > 1$ обе части этого неравенства ($a$ и $\sqrt{a^2-1}$) также положительны, поэтому мы можем еще раз возвести их в квадрат:
$(\sqrt{a^2 - 1})^2 < a^2$
$a^2 - 1 < a^2$.

Вычитая $a^2$ из обеих частей, получаем верное числовое неравенство:
$-1 < 0$.

Мы пришли к верному неравенству, выполнив цепочку равносильных преобразований. Следовательно, исходное неравенство также верно для всех $a > 1$.

Ответ: Неравенство доказано.