Номер 1016, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1016, страница 227.

1016. Верно ли неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \sqrt{7}+2\sqrt{5}<2+\sqrt{35} \\ (\sqrt{7}+2\sqrt{5}{)}^2<(2+\sqrt{35}{)}^2 \\ 7+4\sqrt{35}+20<4+4\sqrt{35}+35 \\ 27+4\sqrt{35}<39+4\sqrt{35}, \text{верно, т.к.} 27<39 \end{gathered}$$

Ответ: верно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}4\sqrt{6}+2>2\sqrt{3}+4\sqrt{2} \\ {(4\sqrt{6}+2)}^2>{(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})}^2 \\ 96+4+16\sqrt{6}>12+32+16\sqrt{6} \\ 100+16\sqrt{6}>44+16\sqrt{6}, \text{верно, т.к.} 100>44 \end{gathered}$$

Ответ: верно

а) Для проверки верности неравенства $\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}$ выполним равносильные преобразования. Перенесем слагаемые так, чтобы сгруппировать похожие члены:

$\sqrt{7} - 2 < \sqrt{35} - 2\sqrt{5}$

Заметим, что $\sqrt{35} = \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$. Подставим это в правую часть неравенства:

$\sqrt{7} - 2 < \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{5}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ в правой части:

$\sqrt{7} - 2 < \sqrt{5}(\sqrt{7} - 2)$

Теперь оценим знак выражения $(\sqrt{7} - 2)$. Так как $7 > 4$, то $\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, выражение $(\sqrt{7} - 2)$ положительно.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(\sqrt{7} - 2)$, при этом знак неравенства не изменится:

$1 < \sqrt{5}$

Чтобы проверить верность этого неравенства, возведем обе его части в квадрат, так как они обе положительны:

$1^2 < (\sqrt{5})^2$

$1 < 5$

Последнее неравенство является верным. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: да, неравенство верно.

б) Проверим верность неравенства $4\sqrt{6} + 2 > 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$. Выполним равносильные преобразования. Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать их:

$4\sqrt{6} - 4\sqrt{2} > 2\sqrt{3} - 2$

Вынесем общие множители в левой и правой частях:

$4(\sqrt{6} - \sqrt{2}) > 2(\sqrt{3} - 1)$

Разделим обе части неравенства на 2:

$2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) > \sqrt{3} - 1$

Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Подставим это в левую часть:

$2(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2}) > \sqrt{3} - 1$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ в левой части:

$2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) > \sqrt{3} - 1$

Оценим знак выражения $(\sqrt{3} - 1)$. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$. Следовательно, выражение $(\sqrt{3} - 1)$ положительно.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(\sqrt{3} - 1)$, знак неравенства при этом не изменится:

$2\sqrt{2} > 1$

Чтобы проверить верность этого неравенства, возведем обе его части в квадрат, так как они обе положительны:

$(2\sqrt{2})^2 > 1^2$

$4 \cdot 2 > 1$

$8 > 1$

Последнее неравенство является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: да, неравенство верно.