Номер 1022, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1022, страница 228.

1022. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Пусть а, b, с - стороны треугольника, тогда используя неравенство треугольника

$$\begin{gathered} c<a+b \\ c+c<a+b+c \\ 2c<a+b+c \end{gathered}$$
$c<\frac{a+b+c}{2},$т.е. полупериметр треугольника больше стороны с $\frac{a+b+c}{2}>b\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}\; >\; b$ и $\frac{a+b+c}{2}>a\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}\; >\; a$ доказывается аналогично

Пусть стороны произвольного треугольника имеют длины $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Необходимо доказать, что полупериметр больше каждой из сторон треугольника, то есть доказать справедливость трёх неравенств: $p > a$, $p > b$ и $p > c$.

Для доказательства воспользуемся фундаментальным свойством любого треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это означает, что верны следующие неравенства:
$b + c > a$
$a + c > b$
$a + b > c$

Теперь докажем каждое из требуемых утверждений, сведя его к одному из неравенств треугольника.

Докажем, что $p > a$. Подставим в это неравенство выражение для полупериметра:
$\frac{a + b + c}{2} > a$
Умножим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не изменится):
$a + b + c > 2a$
Вычтем $a$ из обеих частей неравенства:
$b + c > a$
Мы получили одно из неравенств треугольника, которое является истинным. Следовательно, и равносильное ему исходное неравенство $p > a$ также истинно.

Аналогично доказываются и два других неравенства:
Для $p > b$: $\frac{a + b + c}{2} > b \Leftrightarrow a + b + c > 2b \Leftrightarrow a + c > b$. Это неравенство истинно, так как является неравенством треугольника.
Для $p > c$: $\frac{a + b + c}{2} > c \Leftrightarrow a + b + c > 2c \Leftrightarrow a + b > c$. Это неравенство также истинно, так как является неравенством треугольника.

Таким образом, мы показали, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Оно является прямым следствием неравенства треугольника. Для любой стороны треугольника, например $a$, неравенство $p > a$ (где $p$ - полупериметр) равносильно верному для любого треугольника неравенству $b+c > a$, где $b$ и $c$ - две другие стороны. Аналогичные рассуждения применимы и к двум другим сторонам.