Номер 1026, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1026, страница 229.

1026. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab} \\ \frac{a{c}^2+b}{c}\ge 2\sqrt{ab} \\ a{c}^2+b\ge 2c\sqrt{ab} \\ a{c}^2+b\ge 2\sqrt{ab{c}^2} \end{gathered}$$
$\frac{a{c}^2+b}{2}\ge \sqrt{ab{c}^2}$ при $a>0, b>0, c>0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8 \\ \begin{array}{cc} & 1+\frac{a^2}{bc}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}\\ \times & 1+\frac{b^2}{ac}\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}}\\ & 1+\frac{c^2}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}\end{array} \\ \overline{\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8\sqrt{\frac{a^2}{bc}·\frac{b^2}{ac}·\frac{c^2}{ab}}} \\ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8\sqrt{\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2{b}^2{c}^2}} \\ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8 \end{gathered}$$

при $a>0, b>0, c>0$

Основным инструментом для доказательства обоих неравенств является соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое утверждает, что их среднее арифметическое всегда не меньше их среднего геометрического:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или в эквивалентной форме $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Равенство достигается только тогда, когда $x = y$.

а) Требуется доказать, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим левую часть неравенства как сумму двух слагаемых: $x = ac$ и $y = \frac{b}{c}$. Поскольку по условию $a, b, c$ — положительные числа, то и $x$, и $y$ также положительны.

Применим к этим двум слагаемым неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

Подставим наши выражения для $x$ и $y$:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}}$

Теперь упростим выражение под корнем в правой части неравенства:

$2\sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}} = 2\sqrt{a \cdot c \cdot \frac{b}{c}} = 2\sqrt{ab}$

Таким образом, мы получили:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$

Это и есть то неравенство, которое требовалось доказать. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$ доказано.

б) Требуется доказать, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство $(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge 8$.

Для доказательства этого неравенства мы применим соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим к каждому из трех множителей в левой части.

1. Рассмотрим первый множитель: $(1+\frac{a^2}{bc})$. Слагаемые $1$ и $\frac{a^2}{bc}$ положительны. Применим к ним неравенство о средних:

$1 + \frac{a^2}{bc} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{a^2}{bc}} = 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} = \frac{2a}{\sqrt{bc}}$

2. Рассмотрим второй множитель: $(1+\frac{b^2}{ac})$. Слагаемые $1$ и $\frac{b^2}{ac}$ положительны. Применим к ним неравенство о средних:

$1 + \frac{b^2}{ac} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{b^2}{ac}} = 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} = \frac{2b}{\sqrt{ac}}$

3. Рассмотрим третий множитель: $(1+\frac{c^2}{ab})$. Слагаемые $1$ и $\frac{c^2}{ab}$ положительны. Применим к ним неравенство о средних:

$1 + \frac{c^2}{ab} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{c^2}{ab}} = 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} = \frac{2c}{\sqrt{ab}}$

Мы получили три верных неравенства. Поскольку все части этих неравенств положительны (так как $a, b, c > 0$), мы можем их почленно перемножить:

$(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge \left(\frac{2a}{\sqrt{bc}}\right) \cdot \left(\frac{2b}{\sqrt{ac}}\right) \cdot \left(\frac{2c}{\sqrt{ab}}\right)$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$\frac{2a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{2b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot c}{\sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{8abc}{\sqrt{b \cdot c \cdot a \cdot c \cdot a \cdot b}} = \frac{8abc}{\sqrt{a^2 b^2 c^2}}$

Так как $a,b,c > 0$, то $\sqrt{a^2 b^2 c^2} = abc$. Следовательно, правая часть равна:

$\frac{8abc}{abc} = 8$

Таким образом, мы приходим к искомому неравенству:

$(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge 8$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge 8$ доказано.