Номер 1032, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1032, страница 229.

1032. а) Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9? Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?

б) Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число; наименьшее число?

a) 40,9 ∈ [8; 41)

40,99 ∈ (8; 41)

б) В промежутке [8; 41) наибольшего числа не существует; 8 - наименьшее число

а)

Данный промежуток $[8; 41)$ включает в себя все числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $8 \le x < 41$. Это полуинтервал, замкнутый слева и открытый справа.

1. Принадлежит ли число 40,9 промежутку $[8; 41)$?
Чтобы определить это, необходимо проверить, выполняется ли для числа 40,9 неравенство $8 \le 40,9 < 41$.
Неравенство $8 \le 40,9$ верно.
Неравенство $40,9 < 41$ также верно.
Так как оба условия выполняются, число 40,9 принадлежит промежутку $[8; 41)$.

2. Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?
Да, можно. Нам нужно найти число $y$, которое удовлетворяет условиям $y > 40,9$ и $8 \le y < 41$. Объединив эти условия, получаем, что нужно найти число $y$ в интервале $(40,9; 41)$.
Между любыми двумя различными действительными числами всегда существует бесконечно много других чисел. Например, можно найти среднее арифметическое чисел 40,9 и 41: $y = \frac{40,9 + 41}{2} = \frac{81,9}{2} = 40,95$.
Число 40,95 больше 40,9 и меньше 41, следовательно, оно принадлежит заданному промежутку $[8; 41)$.

Ответ: Да, число 40,9 принадлежит промежутку $[8; 41)$. Да, можно указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку, например, 40,95.

б)

Промежуток $[8; 41]$ — это замкнутый отрезок, который включает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $8 \le x \le 41$.

Существует ли в промежутке $[8; 41]$ наибольшее число?
Да, существует. Поскольку правая граница промежутка включена (обозначается квадратной скобкой, неравенство $x \le 41$ нестрогое), наибольшим числом в этом промежутке является его правая граница. Наибольшее число равно 41.

Существует ли в промежутке $[8; 41]$ наименьшее число?
Да, существует. Поскольку левая граница промежутка включена (обозначается квадратной скобкой, неравенство $x \ge 8$ нестрогое), наименьшим числом в этом промежутке является его левая граница. Наименьшее число равно 8.

Ответ: Да, в промежутке $[8; 41]$ существует наибольшее число, равное 41, и наименьшее число, равное 8.