Номер 1033, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1033, страница 229.

1033. а) Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку?

б) Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число; наибольшее число?

a) 7,01 ∈ (7; 17]

7,001 ∈ (7; 17]

б) В промежутке (7; 17] наименьшего числа не существует, 17 - наибольшее число

а) Промежуток $(7; 17]$ представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство $7 < x \le 17$.

1. Чтобы определить, принадлежит ли число $7,01$ этому промежутку, проверим, удовлетворяет ли оно этому неравенству: $7 < 7,01 \le 17$.
Поскольку $7,01$ действительно больше $7$ и одновременно меньше или равно $17$, неравенство является верным. Значит, число $7,01$ принадлежит промежутку $(7; 17]$.

2. Чтобы найти число, меньшее чем $7,01$ и принадлежащее этому же промежутку, нам нужно найти такое число $y$, для которого выполняются условия $7 < y \le 17$ и $y < 7,01$. Эти условия можно объединить в одно: $7 < y < 7,01$.
Между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много других чисел. Например, мы можем взять среднее арифметическое чисел $7$ и $7,01$: $y = \frac{7 + 7,01}{2} = \frac{14,01}{2} = 7,005$. Число $7,005$ удовлетворяет условию $7 < 7,005 < 7,01$, следовательно, оно меньше $7,01$ и принадлежит промежутку $(7; 17]$. Другими примерами могут быть числа $7,001$, $7,002$ и так далее.
Ответ: Да, число $7,01$ принадлежит промежутку $(7; 17]$. Да, можно указать число, меньшее чем $7,01$, принадлежащее этому промежутку, например, $7,005$.

б) Рассмотрим вопрос о существовании наименьшего и наибольшего чисел в промежутке $(7; 17]$.

1. Наименьшее число. Левая граница промежутка, число $7$, не включена в него, что обозначается круглой скобкой и соответствует строгому неравенству $x > 7$. Это означает, что любое число в промежутке должно быть строго больше $7$. Если мы предположим, что в этом промежутке существует наименьшее число, назовем его $m$, то для него должно выполняться $m > 7$. Но тогда число $k = \frac{7+m}{2}$ (среднее арифметическое $7$ и $m$) будет удовлетворять неравенству $7 < k < m$. Таким образом, мы нашли число $k$, которое также принадлежит промежутку $(7; 17]$, но при этом оно меньше $m$. Это противоречит нашему предположению, что $m$ — наименьшее число. Такой процесс можно продолжать бесконечно, всегда находя число, которое еще ближе к $7$. Следовательно, наименьшего числа в промежутке $(7; 17]$ не существует.

2. Наибольшее число. Правая граница промежутка, число $17$, включена в него, что обозначается квадратной скобкой и соответствует нестрогому неравенству $x \le 17$. Это означает, что любое число $x$ из данного промежутка не может быть больше $17$. Само число $17$ удовлетворяет условию $7 < 17 \le 17$ и, следовательно, принадлежит промежутку. Так как все остальные числа промежутка меньше $17$, то $17$ и является наибольшим числом в этом промежутке.
Ответ: В промежутке $(7; 17]$ наименьшего числа не существует; наибольшее число существует и равно $17$.