Номер 1029, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1029, страница 229.

1029. Оцените значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} -3<b<-2 \\ -6<2b<-4 \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l} 0<a<1\\ -6<2b<-4\end{array}\\ & \overline{-6<a+2b<-3}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 7<a<10 \\ \frac{1}{2}·7<\frac{1}{2}a<\frac{1}{2}·10 \\ 3,5<\frac{1}{2}a<5 \\ 14<b<15 \\ -15<-b<-14 \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l} 3,5<\frac{1}{2}a<5\\ -15<-b<-14\end{array}\\ & \overline{-11,5<\frac{1}{2}a-b<-9}\end{array} \end{gathered}$$

а)

Даны неравенства: $0 < a < 1$ и $-3 < b < -2$.
Чтобы оценить значение выражения $a + 2b$, нам нужно сначала оценить значение слагаемого $2b$. Для этого умножим все части неравенства для $b$ на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-3) < 2 \cdot b < 2 \cdot (-2)$

$-6 < 2b < -4$

Теперь у нас есть два неравенства, которые мы можем сложить почленно, так как они имеют одинаковый знак (<):

$0 < a < 1$
$-6 < 2b < -4$

Складываем левые, средние и правые части соответственно:

$0 + (-6) < a + 2b < 1 + (-4)$

$-6 < a + 2b < -3$

Ответ: $-6 < a + 2b < -3$

б)

Даны неравенства: $7 < a < 10$ и $14 < b < 15$.
Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{2}a - b$, представим его в виде суммы $\frac{1}{2}a + (-b)$ и оценим каждое слагаемое по отдельности.

Сначала оценим $\frac{1}{2}a$. Умножим все части неравенства $7 < a < 10$ на положительное число $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot 7 < \frac{1}{2}a < \frac{1}{2} \cdot 10$

$3,5 < \frac{1}{2}a < 5$

Теперь оценим $-b$. Умножим все части неравенства $14 < b < 15$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 14 > -1 \cdot b > -1 \cdot 15$

$-14 > -b > -15$

Для удобства дальнейшего сложения запишем это неравенство в порядке возрастания:

$-15 < -b < -14$

Теперь сложим почленно полученные неравенства для $\frac{1}{2}a$ и $-b$:

$3,5 + (-15) < \frac{1}{2}a + (-b) < 5 + (-14)$

$3,5 - 15 < \frac{1}{2}a - b < 5 - 14$

$-11,5 < \frac{1}{2}a - b < -9$

Ответ: $-11,5 < \frac{1}{2}a - b < -9$