Номер 1025, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1025, страница 228.

1025. Докажите, что при a > 0 и b > 0 верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4 \\ \underline{\times \begin{array}{l}a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}·\frac{1}{b}}\end{array}} \\ \left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4·\sqrt{ab·\frac{1}{ab}} \\ \left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \\ \frac{a^3+b^3}{a^2{b}^2}\ge \frac{a+b}{ab} \\ \frac{a^3+b^3}{a^2{b}^2}-\frac{a+b}{ab}=\frac{a^3+b^3-ab\left(a+b\right)}{a^2{b}^2}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2{b}^2}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)}{a^2{b}^2}= \end{gathered}$$
$=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)}{a^2{b}^2}=\frac{\left(a+b\right){\left(a-b\right)}^2}{a^2{b}^2}\ge 0$ при $a>0; b>0a>0;\; b>0$

а) Требуется доказать неравенство $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

В числителе мы видим формулу полного квадрата разности $(a-b)^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$.

Проанализируем полученное выражение. По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, знаменатель $ab > 0$. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$. Отношение неотрицательного числа к положительному всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ верно при любых $a > 0$ и $b > 0$.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \ge 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{a}{b^2} - \frac{1}{b}) + (\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}) \ge 0$.

Приведем к общему знаменателю выражения в скобках:

$\frac{a - b}{b^2} + \frac{b - a}{a^2} \ge 0$.

Вынесем $-1$ из числителя второй дроби:

$\frac{a - b}{b^2} - \frac{a - b}{a^2} \ge 0$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}) \ge 0$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ ко второму множителю:

$(a-b)(\frac{1}{b} - \frac{1}{a})(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}) \ge 0$.

Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю:

$(a-b)(\frac{a-b}{ab})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 0$.

Перемножим первые два множителя:

$\frac{(a-b)^2}{ab}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 0$.

Проанализируем полученное выражение. По условию $a > 0$ и $b > 0$.

Множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат числа.

Знаменатель $ab > 0$, так как это произведение положительных чисел. Значит, дробь $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$.

Множитель $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) > 0$, так как это сумма двух положительных чисел.

Произведение неотрицательного числа на положительное число всегда неотрицательно. Следовательно, полученное неравенство верно.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $(a-b)^2=0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.