Страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1019. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?

Пусть x км/ч - скорость катера в стоячей воде, а y км/ч - скорость течения, тогда (x-y)км/ч - скорость против течения, (x+y)км/ч - скорость по течению. Получили $\frac{20}{x-y}\backslash frac\{20\}\{x-y\}$ч - время, потраченное на путь против течения, $\frac{20}{x+y}\backslash frac\{20\}\{x+y\}$ч - время, потраченное на путь по течению. Нужно сравнить

$$\begin{gathered} \frac{20}{x-y}+\frac{20}{x+y} \text{и} \frac{40}{x} \\ \frac{20\left(x+y\right)+20\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\frac{20x+20y+20x-20y}{x^2-y^2}= \\ =\frac{40x}{x^2-y^2} \\ \frac{40x}{x^2-y^2}>\frac{40x}{x^2} \end{gathered}$$

Ответ: катер затратит больше времени на путь по течению и против течения

Для решения этой задачи необходимо сравнить общее время движения катера в двух различных сценариях. Введем следующие обозначения:

• $v_k$ — собственная скорость катера в стоячей воде (км/ч).
• $v_т$ — скорость течения реки (км/ч).

Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_k > v_т$. Также очевидно, что $v_k > 0$ и $v_т > 0$.

Рассмотрим первый случай: катер проходит 20 км по течению и 20 км против течения.

Скорость катера при движении по течению составляет $v_k + v_т$.

Время, затраченное на 20 км пути по течению, равно: $t_1 = \frac{20}{v_k + v_т}$.

Скорость катера при движении против течения составляет $v_k - v_т$.

Время, затраченное на 20 км пути против течения, равно: $t_2 = \frac{20}{v_k - v_т}$.

Общее время движения в этом случае, $T_1$, является суммой $t_1$ и $t_2$:

$T_1 = t_1 + t_2 = \frac{20}{v_k + v_т} + \frac{20}{v_k - v_т}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю $(v_k + v_т)(v_k - v_т) = v_k^2 - v_т^2$:

$T_1 = \frac{20(v_k - v_т) + 20(v_k + v_т)}{(v_k + v_т)(v_k - v_т)} = \frac{20v_k - 20v_т + 20v_k + 20v_т}{v_k^2 - v_т^2}$

Упростив числитель, получаем выражение для общего времени $T_1$:

$T_1 = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_т^2}$

Рассмотрим второй случай: катер проходит 40 км в стоячей воде.

В стоячей воде течение отсутствует ($v_т = 0$), поэтому скорость катера равна его собственной скорости $v_k$.

Время движения $T_2$ на расстояние 40 км вычисляется по формуле:

$T_2 = \frac{40}{v_k}$

Сравнение времени $T_1$ и $T_2$.

Теперь нам нужно сравнить два выражения:

$T_1 = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_т^2}$ и $T_2 = \frac{40}{v_k}$

Для удобства сравнения преобразуем выражение для $T_2$, умножив числитель и знаменатель на $v_k$ (так как $v_k > 0$, это не изменит значение дроби):

$T_2 = \frac{40 \cdot v_k}{v_k \cdot v_k} = \frac{40v_k}{v_k^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми положительными числителями ($40v_k$):

$T_1 = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_т^2}$ и $T_2 = \frac{40v_k}{v_k^2}$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели:

Знаменатель для $T_1$: $v_k^2 - v_т^2$

Знаменатель для $T_2$: $v_k^2$

Поскольку скорость течения $v_т > 0$, то и $v_т^2 > 0$. Следовательно:

$v_k^2 - v_т^2 < v_k^2$

Так как знаменатель дроби для $T_1$ меньше знаменателя дроби для $T_2$, то значение самой дроби $T_1$ будет больше значения дроби $T_2$.

$T_1 > T_2$

Таким образом, катер затратит больше времени на путешествие по реке (туда и обратно), чем на такое же расстояние в стоячей воде.

Ответ: Катер затратит больше времени, если он пройдет 20 км по течению реки и 20 км против течения.

1020. (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

2) Введите обозначения:

x км/ч — скорость лодки в стоячей воде;

y км/ч и z км/ч — скорости течения первой и второй рек;

s км — расстояние, на которое отплывала лодка.

3) Запишите формулы для вычисления времени t₁ ч и t₂ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

4) Найдите разность t₁ – t₂ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

x км/ч - скорость лодки в стоячей воде, y км/ч и z км/ч - скорости течения первой и второй рек, причём z>y

S км - расстояние, на которое отплывала лодка

$$\begin{gathered} t_1=\left(\frac{s}{x-y}+\frac{s}{x+y}\right)\text{ч} \\ {t}_2=\left(\frac{s}{x-z}+\frac{s}{x+z}\right)\text{ч} \\ {t}_1-t_2=\left(\frac{s}{x-y}+\frac{s}{x+y}\right)-\left(\frac{s}{x-z}+\frac{s}{x+z}\right)= \\ =\frac{s\left(x+y\right)+s\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{s\left(x+z\right)+s\left(x-z\right)}{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}= \\ =\frac{sx+sy+sx-sy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{sx+sz+sx-sz}{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}= \\ =\frac{2sx}{x^2-y^2}-\frac{2sx}{x^2-z^2}=2sx\left(\frac{1}{x^2-y^2}-\frac{1}{x^2-z^2}\right)= \\ =2sx\frac{x^2-z^2-x^2+y^2}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2-z^2\right)}= \\ =2sx\frac{y^2-z^2}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2-z^2\right)}<0 \end{gathered}$$

Т.к. z>y. Получим, что , значит,

Ответ: во второй день

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

На первый взгляд может показаться, что более быстрое течение помогает на пути по течению ровно настолько же, насколько мешает на пути против течения, и общее время не изменится. Однако лодка движется против течения дольше, чем по течению. Увеличение скорости течения сильнее скажется на времени движения против течения (увеличив его), чем на времени движения по течению (уменьшив его). Поэтому можно предположить, что общее время в пути окажется больше в тот день, когда течение реки было быстрее.

Ответ: Предположительно, во второй день, когда река была более быстрой, лодка затратила на весь путь больше времени.

2) Введите обозначения:

Согласно условию задачи, используем следующие обозначения: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек соответственно; $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка в одну сторону.

Из условия, что вторая река "более быстрая", следует, что $z > y$. Также для того, чтобы лодка могла вернуться обратно, двигаясь против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > z$ (а следовательно, и $x > y$).

Ответ: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек, где $z > y$; $s$ км — расстояние в одну сторону.

3) Запишите формулы для вычисления времени t? и t? ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

Общее время в пути равно сумме времени, затраченного на путь по течению и против течения. Время вычисляется по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

В первый день (скорость течения $y$):
Скорость по течению: $v_{по1} = x + y$. Время: $t_{по1} = \frac{s}{x+y}$.
Скорость против течения: $v_{против1} = x - y$. Время: $t_{против1} = \frac{s}{x-y}$.
Общее время $t_1 = t_{по1} + t_{против1} = \frac{s}{x+y} + \frac{s}{x-y}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $t_1 = s \left( \frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} \right) = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$.

Во второй день (скорость течения $z$):
Скорость по течению: $v_{по2} = x + z$. Время: $t_{по2} = \frac{s}{x+z}$.
Скорость против течения: $v_{против2} = x - z$. Время: $t_{против2} = \frac{s}{x-z}$.
Общее время $t_2 = t_{по2} + t_{против2} = \frac{s}{x+z} + \frac{s}{x-z}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $t_2 = s \left( \frac{x-z+x+z}{(x+z)(x-z)} \right) = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$.

Ответ: Формулы для вычисления времени: $t_1 = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$ ч и $t_2 = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$ ч.

4) Найдите разность t? ? t? и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

Найдем разность времени $t_1$ и $t_2$, используя формулы из предыдущего пункта:
$t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2 - y^2} - \frac{2sx}{x^2 - z^2}$.

Вынесем общий множитель $2sx$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:
$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{1}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x^2 - z^2} \right) = 2sx \left( \frac{(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} \right)$.

Упростим выражение в числителе дроби:
$(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2) = x^2 - z^2 - x^2 + y^2 = y^2 - z^2$.

Таким образом, разность времен равна:
$t_1 - t_2 = \frac{2sx(y^2 - z^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$.

Теперь оценим знак этого выражения. Все переменные $s, x, y, z$ являются скоростями или расстоянием, поэтому они положительны ($y$ может быть равно 0, но это не меняет рассуждений).

• Множитель $2sx$ положителен, так как $s > 0$ и $x > 0$.
• Так как вторая река быстрее первой, $z > y$, следовательно $z^2 > y^2$ и $y^2 - z^2 < 0$. Числитель дроби отрицателен.
• Так как лодка может плыть против течения, $x > z$ и $x > y$. Следовательно, $x^2 > z^2$ и $x^2 > y^2$. Это означает, что оба множителя в знаменателе $(x^2 - y^2)$ и $(x^2 - z^2)$ положительны, и их произведение также положительно.

В итоге получаем, что разность $t_1 - t_2$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, то есть $t_1 - t_2 < 0$.

Из неравенства $t_1 < t_2$ следует, что время, затраченное во второй день, больше, чем время, затраченное в первый.

Ответ: Во второй день лодка затратила на весь путь больше времени.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

В пункте 1 было сделано предположение, что на реке с более быстрым течением лодка затратит больше времени на весь путь. Математический анализ, проведенный в пункте 4, показал, что $t_2 > t_1$. Таким образом, первоначальное предположение полностью подтвердилось.

Ответ: Да, предположение подтвердилось.

1021. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?

Примем расстояние от посёлка до города за 1. Тогда Смирнов затратил на весь путь $\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{2}{15}\text{(ч),}$ а Антонов $\frac{1}{16}+\frac{1}{14}=\frac{30}{224}=\frac{15}{112}\text{(ч)}$

Сравними $\frac{2}{15}\backslash frac\{2\}\{15\}$ и $\frac{15}{112}$

$$\begin{gathered} \frac{2·112}{15·112}<\frac{15·15}{15·112} \\ \frac{224}{15·112}<\frac{225}{15·112} \end{gathered}$$

Ответ: Смирнов

Для решения этой задачи нам необходимо сравнить общее время, затраченное каждым велосипедистом на дорогу из посёлка в город и обратно. Время, которое они провели в городе, одинаково для обоих, поэтому его можно не учитывать при сравнении, так как оно не повлияет на то, кто вернется раньше. Нам нужно сравнить только время в пути.

Обозначим расстояние от посёлка до города как $S$ км.

Расчет времени для Смирнова

Скорость Смирнова была постоянной и равнялась $v_{С} = 15$ км/ч.
Время, затраченное Смирновым на дорогу в город: $t_{С1} = \frac{S}{15}$ ч.
Время, затраченное Смирновым на дорогу обратно в посёлок: $t_{С2} = \frac{S}{15}$ ч.
Общее время в пути для Смирнова:
$T_{С} = t_{С1} + t_{С2} = \frac{S}{15} + \frac{S}{15} = \frac{2S}{15}$ ч.

Расчет времени для Антонова

Скорость Антонова на пути в город была на 1 км/ч больше, чем у Смирнова:
$v_{А1} = 15 + 1 = 16$ км/ч.
Время, затраченное Антоновым на дорогу в город: $t_{А1} = \frac{S}{16}$ ч.
Скорость Антонова на обратном пути была на 1 км/ч меньше, чем у Смирнова:
$v_{А2} = 15 - 1 = 14$ км/ч.
Время, затраченное Антоновым на дорогу обратно в посёлок: $t_{А2} = \frac{S}{14}$ ч.
Общее время в пути для Антонова:
$T_{А} = t_{А1} + t_{А2} = \frac{S}{16} + \frac{S}{14}$ ч.

Сравнение времени в пути

Теперь сравним общее время в пути Смирнова $T_{С}$ и Антонова $T_{А}$. Нам нужно сравнить дроби $\frac{2S}{15}$ и $\frac{S}{16} + \frac{S}{14}$. Поскольку $S > 0$, мы можем сравнить выражения $\frac{2}{15}$ и $\frac{1}{16} + \frac{1}{14}$.
Приведем сумму дробей для времени Антонова к общему знаменателю:
$\frac{1}{16} + \frac{1}{14} = \frac{14}{16 \times 14} + \frac{16}{16 \times 14} = \frac{14 + 16}{224} = \frac{30}{224}$.
Теперь сравним $\frac{2}{15}$ (время Смирнова) и $\frac{30}{224}$ (время Антонова).
Для удобства сравнения приведем дроби к общему числителю. Общий числитель — 30.
Для Смирнова: $\frac{2}{15} = \frac{2 \times 15}{15 \times 15} = \frac{30}{225}$.
Теперь сравним дроби $\frac{30}{225}$ и $\frac{30}{224}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь меньше, у которой знаменатель больше.
Поскольку $225 > 224$, то $\frac{30}{225} < \frac{30}{224}$.
Это означает, что $\frac{2}{15} < \frac{1}{16} + \frac{1}{14}$, и, следовательно, $T_{С} < T_{А}$.
Время, затраченное Смирновым на дорогу, меньше времени, затраченного Антоновым.

Вывод
Поскольку Смирнов потратил на дорогу туда и обратно меньше времени, чем Антонов, а в городе они пробыли одинаковое время, Смирнов вернулся в посёлок раньше.
Ответ: Смирнов вернулся в посёлок раньше.

1022. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Пусть а, b, с - стороны треугольника, тогда используя неравенство треугольника

$$\begin{gathered} c<a+b \\ c+c<a+b+c \\ 2c<a+b+c \end{gathered}$$
$c<\frac{a+b+c}{2},$т.е. полупериметр треугольника больше стороны с $\frac{a+b+c}{2}>b\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}\; >\; b$ и $\frac{a+b+c}{2}>a\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}\; >\; a$ доказывается аналогично

Пусть стороны произвольного треугольника имеют длины $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Необходимо доказать, что полупериметр больше каждой из сторон треугольника, то есть доказать справедливость трёх неравенств: $p > a$, $p > b$ и $p > c$.

Для доказательства воспользуемся фундаментальным свойством любого треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это означает, что верны следующие неравенства:
$b + c > a$
$a + c > b$
$a + b > c$

Теперь докажем каждое из требуемых утверждений, сведя его к одному из неравенств треугольника.

Докажем, что $p > a$. Подставим в это неравенство выражение для полупериметра:
$\frac{a + b + c}{2} > a$
Умножим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не изменится):
$a + b + c > 2a$
Вычтем $a$ из обеих частей неравенства:
$b + c > a$
Мы получили одно из неравенств треугольника, которое является истинным. Следовательно, и равносильное ему исходное неравенство $p > a$ также истинно.

Аналогично доказываются и два других неравенства:
Для $p > b$: $\frac{a + b + c}{2} > b \Leftrightarrow a + b + c > 2b \Leftrightarrow a + c > b$. Это неравенство истинно, так как является неравенством треугольника.
Для $p > c$: $\frac{a + b + c}{2} > c \Leftrightarrow a + b + c > 2c \Leftrightarrow a + b > c$. Это неравенство также истинно, так как является неравенством треугольника.

Таким образом, мы показали, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Оно является прямым следствием неравенства треугольника. Для любой стороны треугольника, например $a$, неравенство $p > a$ (где $p$ - полупериметр) равносильно верному для любого треугольника неравенству $b+c > a$, где $b$ и $c$ - две другие стороны. Аналогичные рассуждения применимы и к двум другим сторонам.

1023. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

Пусть a и b - стороны прямоугольника, с - сторона квадрата. По условию задачи $\left(a+b\right)·2=4c$

$a+b=2c$

$\frac{a+b}{2}=c$ - сторона квадрата

$S_{\text{прям}}=ab; S_{\text{кв}}=c^2={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

Сравним ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2 \text{и} ab$

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2}\ge \sqrt{ab} \\ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} \end{gathered}$$

Ответ: ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$, т.е. площадь квадрата больше или равна площади произвольного прямоугольника

Для сравнения площади квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр, введем общие обозначения. Пусть задан периметр $P$.

Сначала рассмотрим квадрат. Если его периметр равен $P$, то длина каждой его стороны $a_{кв}$ составляет:

$a_{кв} = \frac{P}{4}$

Площадь этого квадрата, $S_{кв}$, равна:

$S_{кв} = a_{кв}^2 = (\frac{P}{4})^2 = \frac{P^2}{16}$

Теперь рассмотрим произвольный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и таким же периметром $P$. Для него выполняется равенство:

$2(a+b) = P$

Отсюда сумма смежных сторон прямоугольника равна $a+b = \frac{P}{2}$. Площадь прямоугольника, $S_{пр}$, вычисляется как $S_{пр} = a \cdot b$.

Чтобы сравнить площади, выразим стороны прямоугольника $a$ и $b$ через их среднее арифметическое $\frac{a+b}{2} = \frac{P/2}{2} = \frac{P}{4}$ и некоторое отклонение $d$ от этого среднего. Стороны можно представить в виде:

$a = \frac{P}{4} + d$

$b = \frac{P}{4} - d$

При такой записи их сумма $a+b = (\frac{P}{4} + d) + (\frac{P}{4} - d) = \frac{P}{2}$, что соответствует условию. Если отклонение $d=0$, то $a=b=\frac{P}{4}$, и прямоугольник является квадратом. Если $d \neq 0$, то это прямоугольник, отличный от квадрата.

Теперь найдем площадь прямоугольника, используя эти выражения для сторон и применяя формулу разности квадратов:

$S_{пр} = a \cdot b = (\frac{P}{4} + d)(\frac{P}{4} - d) = (\frac{P}{4})^2 - d^2$

Мы получили выражения для обеих площадей:

$S_{кв} = (\frac{P}{4})^2$

$S_{пр} = (\frac{P}{4})^2 - d^2$

Найдем разность между площадью квадрата и площадью прямоугольника:

$S_{кв} - S_{пр} = (\frac{P}{4})^2 - ((\frac{P}{4})^2 - d^2) = d^2$

Поскольку $d^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда является неотрицательной величиной ($d^2 \ge 0$), то и разность $S_{кв} - S_{пр}$ всегда больше или равна нулю. Это доказывает, что $S_{кв} \ge S_{пр}$.

Равенство площадей ($S_{кв} = S_{пр}$) достигается только тогда, когда $d^2 = 0$, то есть при $d=0$. Это случай, когда прямоугольник является квадратом. Во всех остальных случаях, когда прямоугольник не является квадратом ($d \ne 0$), его площадь строго меньше площади квадрата с тем же периметром.

Ответ: Площадь квадрата всегда больше или равна площади произвольного прямоугольника с тем же периметром. Равенство площадей достигается только в том случае, если этот прямоугольник сам является квадратом.

1024. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2+ab+b^2\ge 0 \\ {a}^2+ab+b^2=a^2+2·a·\frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}= \\ ={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{a}^2-ab+b^2\ge 0 \\ {a}^2-ab+b^2=a^2-2·a·\frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}= \\ ={\left(a-\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}\ge 0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства неравенства $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ применим метод выделения полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В выражении $a^2 + ab + b^2$ первые два слагаемых $a^2 + ab$ можно рассматривать как часть полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат, член $ab$ должен быть удвоенным произведением. Представим его как $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$. Тогда вторым слагаемым в двучлене будет $\frac{b}{2}$, а его квадрат, который нужно добавить для полного квадрата, равен $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Преобразуем исходное выражение, добавив и вычтя $\frac{b^2}{4}$:

$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + ab + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат и упростим оставшуюся часть:

$(a + \frac{b}{2})^2 + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Проанализируем полученное выражение. Оно состоит из двух слагаемых:

1. $(a + \frac{b}{2})^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$.
2. $b^2$ также всегда неотрицательно, поэтому и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно,

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0$

Таким образом, исходное неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ доказано для любых значений $a$ и $b$. Равенство достигается только при $a=0$ и $b=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ также выделим полный квадрат. В этот раз будем использовать формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $a^2 - ab + b^2$ представим член $ab$ как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$. Тогда для полного квадрата разности нам потребуется член $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Добавим и вычтем $\frac{b^2}{4}$ в исходном выражении:

$a^2 - ab + b^2 = (a^2 - ab + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + b^2$

Сгруппируем слагаемые для выделения квадрата разности и упростим:

$(a - \frac{b}{2})^2 + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых:

1. $(a - \frac{b}{2})^2$ — квадрат действительного числа, поэтому $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$.
2. $\frac{3b^2}{4}$ — произведение положительного числа $\frac{3}{4}$ и неотрицательного числа $b^2$, поэтому $\frac{3b^2}{4} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна, значит:

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0$

Таким образом, мы доказали, что неравенство $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ справедливо для любых значений $a$ и $b$. Равенство нулю возможно только если $a=0$ и $b=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

1025. Докажите, что при a > 0 и b > 0 верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4 \\ \underline{\times \begin{array}{l}a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}·\frac{1}{b}}\end{array}} \\ \left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4·\sqrt{ab·\frac{1}{ab}} \\ \left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \\ \frac{a^3+b^3}{a^2{b}^2}\ge \frac{a+b}{ab} \\ \frac{a^3+b^3}{a^2{b}^2}-\frac{a+b}{ab}=\frac{a^3+b^3-ab\left(a+b\right)}{a^2{b}^2}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2{b}^2}= \\ =\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)}{a^2{b}^2}= \end{gathered}$$
$=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)}{a^2{b}^2}=\frac{\left(a+b\right){\left(a-b\right)}^2}{a^2{b}^2}\ge 0$ при $a>0; b>0a>0;\; b>0$

а) Требуется доказать неравенство $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

В числителе мы видим формулу полного квадрата разности $(a-b)^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$.

Проанализируем полученное выражение. По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, знаменатель $ab > 0$. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$. Отношение неотрицательного числа к положительному всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ верно при любых $a > 0$ и $b > 0$.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \ge 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{a}{b^2} - \frac{1}{b}) + (\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}) \ge 0$.

Приведем к общему знаменателю выражения в скобках:

$\frac{a - b}{b^2} + \frac{b - a}{a^2} \ge 0$.

Вынесем $-1$ из числителя второй дроби:

$\frac{a - b}{b^2} - \frac{a - b}{a^2} \ge 0$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}) \ge 0$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ ко второму множителю:

$(a-b)(\frac{1}{b} - \frac{1}{a})(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}) \ge 0$.

Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю:

$(a-b)(\frac{a-b}{ab})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 0$.

Перемножим первые два множителя:

$\frac{(a-b)^2}{ab}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 0$.

Проанализируем полученное выражение. По условию $a > 0$ и $b > 0$.

Множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат числа.

Знаменатель $ab > 0$, так как это произведение положительных чисел. Значит, дробь $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$.

Множитель $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) > 0$, так как это сумма двух положительных чисел.

Произведение неотрицательного числа на положительное число всегда неотрицательно. Следовательно, полученное неравенство верно.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $(a-b)^2=0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.