Страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1057. Найдите положительные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}3\left(y-1\right)-4\left(y+8\right)<5\left(y+5\right)\\ 1,2\left(1+5y\right)-0,2<5\left(1-3y\right)-3y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3y-3-4y-32<5y+25\\ 1,2+6y-0,2<5-15y-3y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-y-5y<25+35\\ 6y+18y<5-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6y<60\\ 24y<4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>-10\\ y<\frac{1}{6}\end{array}\right.$

$y>0\text{ при }y\in \left(0; \frac{1}{6}\right)y\; >\; 0\; \backslash text\{\; при\; \}\; y\; \backslash in\; (0;\; \backslash frac\{1\}\{6\})$

Ответ: $\left(0; \frac{1}{6}\right)(0;\; \backslash frac\{1\}\{6\})$

б) $\left\{\begin{array}{l}15\left(y-4\right)-14\left(y-3\right)<y\left(y-9\right)-y^2\\ \frac{5-y}{3}-y>14-\frac{2-y}{6} \mathrm{/}·6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}15y-60-14y+42<y^2-9y-y^2\\ 2\left(5-y\right)-6y>84-\left(2-y\right)\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y-18<-9y\\ 10-2y-6y>84-2+y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y+9y<18\\ -8y-y>84-2-10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}10y<18\\ -9y>72\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y<\mathrm{1,8}\\ y<-8\end{array}\right.$

$y\in \left(-\mathrm{\infty }; -8\right)y\; \backslash in\; (-\backslash infty;-8)$

Ответ: положительных значений у нет

в) $\left\{\begin{array}{l}\left(2y-1\right)\left(3y+2\right)-6y\left(y-4\right)<48\\ \frac{y-1}{8}-\frac{6y+1}{4}-1<0 /·8\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}6y^2+4y-3y-2-6y^2+24y<48\\ y-1-2\left(6y+1\right)-8<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}25y<50\\ y-1-12y-2-8<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y<2\\ -11y-11<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<2\\ -11y<11\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<2\\ y>-1\end{array}\right.$

y ∈ (-1; 2)

y>0 при y ∈ (0; 2)

Ответ: (0; 2)

a)

Решим первое неравенство системы:
$3(y - 1) - 4(y + 8) < 5(y + 5)$
Раскроем скобки:
$3y - 3 - 4y - 32 < 5y + 25$
Приведем подобные слагаемые:
$-y - 35 < 5y + 25$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа в другую:
$-35 - 25 < 5y + y$
$-60 < 6y$
$y > -10$

Решим второе неравенство системы:
$1.2(1 + 5y) - 0.2 < 5(1 - 3y) - 3y$
Раскроем скобки:
$1.2 + 6y - 0.2 < 5 - 15y - 3y$
Приведем подобные слагаемые:
$1 + 6y < 5 - 18y$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа в другую:
$6y + 18y < 5 - 1$
$24y < 4$
$y < \frac{4}{24}$
$y < \frac{1}{6}$

Мы получили систему из двух условий: $y > -10$ и $y < \frac{1}{6}$. Пересечением этих решений является интервал $(-10; \frac{1}{6})$.
По условию задачи, мы ищем только положительные значения $y$, то есть $y > 0$.
Найдем пересечение интервалов $(-10; \frac{1}{6})$ и $(0; +\infty)$.
Итоговое решение: $0 < y < \frac{1}{6}$.

Ответ: $y \in (0; \frac{1}{6})$.

б)

Решим первое неравенство системы:
$15(y - 4) - 14(y - 3) < y(y - 9) - y^2$
Раскроем скобки:
$15y - 60 - 14y + 42 < y^2 - 9y - y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$y - 18 < -9y$
$y + 9y < 18$
$10y < 18$
$y < 1.8$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{5 - y}{3} - y > 14 - \frac{2 - y}{6}$
Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$6 \cdot \frac{5 - y}{3} - 6 \cdot y > 6 \cdot 14 - 6 \cdot \frac{2 - y}{6}$
$2(5 - y) - 6y > 84 - (2 - y)$
$10 - 2y - 6y > 84 - 2 + y$
$10 - 8y > 82 + y$
$10 - 82 > y + 8y$
$-72 > 9y$
$y < -8$

Мы получили систему из двух условий: $y < 1.8$ и $y < -8$. Пересечением этих решений является $y < -8$.
По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$, то есть $y > 0$.
Множества $y < -8$ и $y > 0$ не имеют пересечения.

Ответ: положительных значений $y$, удовлетворяющих системе, не существует.

в)

Решим первое неравенство системы:
$(2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48$
Раскроем скобки:
$(6y^2 + 4y - 3y - 2) - (6y^2 - 24y) < 48$
$6y^2 + y - 2 - 6y^2 + 24y < 48$
Приведем подобные слагаемые:
$25y - 2 < 48$
$25y < 50$
$y < 2$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0$
Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:
$8 \cdot \frac{y - 1}{8} - 8 \cdot \frac{6y + 1}{4} - 8 \cdot 1 < 0$
$(y - 1) - 2(6y + 1) - 8 < 0$
$y - 1 - 12y - 2 - 8 < 0$
$-11y - 11 < 0$
$-11y < 11$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$y > -1$

Мы получили систему из двух условий: $y < 2$ и $y > -1$. Пересечением этих решений является интервал $(-1; 2)$.
По условию задачи, мы ищем только положительные значения $y$, то есть $y > 0$.
Найдем пересечение интервалов $(-1; 2)$ и $(0; +\infty)$.
Итоговое решение: $0 < y < 2$.

Ответ: $y \in (0; 2)$.

1058. Найдите отрицательные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{c}\frac{5y-1}{6}-\frac{2y-1}{2}>0 \mathrm{/}·6\\ 1-\frac{y+4}{3}<0 \mathrm{/}·3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}5y-1-3\left(2y-1\right)>0\\ 3-\left(y+4\right)<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}5y-1-6y+3>0\\ 3-y-4<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-y+2>0\\ -y-1<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}-y>-2\\ -y<1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y<2\\ y>-1\end{array}\right.$

y ∈ (-1; 2)

y<0 при y ∈ (-1; 0)

Ответ: (-1; 0)

б) $\left\{\begin{array}{l}\left(y+6\right)\left(5-y\right)+y\left(y-1\right)>0\\ 0,3y\left(10y+20\right)-3y^2+30>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5y-y^2+30-6y+y^2-y>0\\ 3y^2+6y-3y^2+30>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-y-y>-30\\ 6y>-30\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2y>-30\\ y>-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<15\\ y>-5\end{array}\right.$

y ∈ (-5; 15)

y<0 при y ∈ (-5; 0)

Ответ: (-5; 0)

а)

Необходимо решить систему неравенств и найти отрицательные значения $y$.

1. Решим первое неравенство:

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

Так как знаменатель положителен, знак неравенства определяется знаком числителя:

2. Решим второе неравенство:

Перенесем дробь в правую часть неравенства:

Умножим обе части на 3:

Вычтем 4 из обеих частей:

3. Найдем решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств: $y < 2$ и $y > -1$.

Таким образом, решением системы является интервал $y \in (-1; 2)$.

4. Согласно условию, нам необходимо найти только отрицательные значения $y$, то есть те, которые удовлетворяют условию $y < 0$.

Найдем пересечение интервала $(-1; 2)$ и множества $(-\infty; 0)$.

Пересечением является интервал $(-1; 0)$.

Ответ: $y \in (-1; 0)$.

б)

Необходимо решить систему неравенств и найти отрицательные значения $y$.

1. Решим первое неравенство:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Решим полученное линейное неравенство:

2. Решим второе неравенство:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Решим полученное линейное неравенство:

3. Найдем решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств: $y < 15$ и $y > -5$.

Таким образом, решением системы является интервал $y \in (-5; 15)$.

4. Согласно условию, нам необходимо найти только отрицательные значения $y$, то есть те, которые удовлетворяют условию $y < 0$.

Найдем пересечение интервала $(-5; 15)$ и множества $(-\infty; 0)$.

Пересечением является интервал $(-5; 0)$.

Ответ: $y \in (-5; 0)$.

1059. При каких значениях а уравнение имеет два корня, каждый из которых больше 2?

x² – 4ax + 4a² – 25 = 0

$$\begin{gathered} x^2-4ax+4a^2-25=0 \\ D={\left(-4a\right)}^2-4·1·\left(4a^2-25\right)= \\ =16a^2-16a^2+100=100 \\ x=\frac{4a\pm \sqrt{100}}{2}; x=\frac{4a\pm 10}{2} \\ {x}_1=2a+5 \\ {x}_2=2a-5 \\ \left\{\begin{array}{c}2a+5>2\\ 2a-5>2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2a>-3\\ 2a>7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-1,5\\ a>3,5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при a>3,5

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения. Уравнение имеет вид:

$x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$

Заметим, что первые три члена в левой части уравнения представляют собой полный квадрат разности:

$x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2$

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

$(x - 2a)^2 - 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$(x - 2a)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x - 2a = \pm\sqrt{25}$

$x - 2a = \pm5$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x = 2a \pm 5$

То есть, корни уравнения:

$x_1 = 2a - 5$

$x_2 = 2a + 5$

По условию задачи, оба корня должны быть больше 2. Это означает, что должны выполняться два неравенства одновременно:

$\begin{cases} x_1 > 2 \\ x_2 > 2 \end{cases}$

Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} 2a - 5 > 2 \\ 2a + 5 > 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1) $2a - 5 > 2$

$2a > 7$

$a > \frac{7}{2}$

$a > 3.5$

2) $2a + 5 > 2$

$2a > -3$

$a > -\frac{3}{2}$

$a > -1.5$

Для того чтобы выполнялись оба условия, необходимо найти пересечение полученных решений. Мы ищем значения $a$, которые удовлетворяют и условию $a > 3.5$, и условию $a > -1.5$. Если число больше 3.5, оно автоматически будет больше -1.5. Следовательно, общее решение системы неравенств — это $a > 3.5$.

Ответ: $a \in (3.5; +\infty)$

1060. При каких значениях b уравнение имеет два корня, принадлежащие интервалу (–5; 5)?

x² – (2b – 2)x + b² – 2b = 0

$$\begin{gathered} x^2-\left(2b-2\right)x+b^2-2b=0 \\ D={\left(-\left(2b-2\right)\right)}^2-4·1\left(b^2-2b\right)= \\ =4b^2-8b+4-4b^2+8b=4 \\ x=\frac{2b-2\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{2b-2\pm 2}{2} \\ {x}_1=\frac{2b}{2}=b; x_2=\frac{2b-4}{2}=b-2 \\ \left\{\begin{array}{l}-5<b<5\\ -5<b-2<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-5<b<5\\ -3<b<7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при -3<b<5

Рассмотрим данное квадратное уравнение: $x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0$.

Для решения задачи необходимо найти значения параметра $b$, при которых оба корня этого уравнения принадлежат интервалу $(-5; 5)$.

Сначала найдем корни уравнения. Для этого вычислим его дискриминант $D$. В уравнении вида $ax^2+Bx+C=0$ имеем коэффициенты $a=1$, $B = -(2b-2)$ и $C = b^2 - 2b$.

Дискриминант равен:

$D = B^2 - 4aC = (-(2b - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 2b) = (4b^2 - 8b + 4) - (4b^2 - 8b) = 4$.

Поскольку дискриминант $D = 4$ является положительным числом, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $b$.

Найдем эти корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2b - 2 - \sqrt{4}}{2} = \frac{2b - 2 - 2}{2} = \frac{2b - 4}{2} = b - 2$.

$x_2 = \frac{2b - 2 + \sqrt{4}}{2} = \frac{2b - 2 + 2}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Корнями уравнения являются $x_1 = b - 2$ и $x_2 = b$.

По условию задачи, оба корня должны лежать в интервале $(-5; 5)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два двойных неравенства:

1) $-5 < x_1 < 5$, то есть $-5 < b - 2 < 5$.

2) $-5 < x_2 < 5$, то есть $-5 < b < 5$.

Решим первое неравенство. Прибавив 2 ко всем его частям, получим:

$-5 + 2 < b < 5 + 2$, что равносильно $-3 < b < 7$.

Таким образом, мы получили систему из двух условий для $b$:

$-3 < b < 7$

$-5 < b < 5$

Чтобы найти итоговое множество значений $b$, нужно найти пересечение этих двух интервалов: $(-3; 7) \cap (-5; 5)$.

Пересечением является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $b \in (-3; 5)$.

1061. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, чем сейчас, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?

Пусть х км в день проходили туристы. Если туристы будут проходить (x+5)км в день, то 6(x+5)>90, а если они будут проходить (x-5)км в день, то 8(x-5)<90. Составим и решим систему неравенств

$\left\{\begin{array}{c}6\left(x+5\right)>90\\ 8\left(x-5\right)<90\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}6x+30>90\\ 8x-40<90\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x>60\\ 8x<130\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x>10\\ x<\frac{130}{8}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>10\\ x<16\frac{2}{8}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>10\\ x<16\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Ответ: более 10км, но менее $16\frac{1}{4}16\; \backslash frac\{1\}\{4\}$км

Пусть $x$ км — это расстояние, которое туристы проходят в день в настоящее время.

Составим систему неравенств на основе условий задачи.

Первое условие: если туристы будут проходить в день на 5 км больше, то есть $(x + 5)$ км, то за 6 дней они пройдут расстояние, большее 90 км. Это можно записать в виде неравенства:
$6 \cdot (x + 5) > 90$

Второе условие: если они будут проходить в день на 5 км меньше, то есть $(x - 5)$ км, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Это можно записать в виде неравенства:
$8 \cdot (x - 5) < 90$

Для нахождения $x$ необходимо решить систему из этих двух неравенств:
$\begin{cases} 6(x + 5) > 90 \\ 8(x - 5) < 90 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$6(x + 5) > 90$
Разделим обе части на 6:
$x + 5 > 15$
Вычтем 5 из обеих частей:
$x > 10$

Решим второе неравенство:
$8(x - 5) < 90$
Разделим обе части на 8:
$x - 5 < \frac{90}{8}$
$x - 5 < 11.25$
Прибавим 5 к обеим частям:
$x < 16.25$

Объединим результаты.
Мы получили, что искомое расстояние $x$ должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x > 10$ и $x < 16.25$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$10 < x < 16.25$

Таким образом, расстояние, которое туристы проходят в день, может быть любым числом в интервале от 10 до 16.25 км. Поскольку в подобных задачах часто предполагается, что расстояние выражается целым числом, то возможными значениями могут быть: 11, 12, 13, 14, 15 или 16 километров.

Ответ: Так как условия задачи не позволяют однозначно определить единственное значение, то ответом может быть любое целое число километров от 11 до 16. Например, 11 км.

1062. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?

Пусть на х км/ч поезд увеличил скорость, тогда средняя скорость поезда равна $\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{60+x}}}\backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{60\}+\backslash frac\{1\}\{60+x\}\}$км/ч. Зная, что средняя скорость на всём участке не превышала 72км/ч, составим и решим неравенство

$$\begin{gathered} \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{60+x}}}\le 72 \\ \frac{2}{{\displaystyle \frac{60+x+60}{60\left(60+x\right)}}}\le 72 \\ \frac{2·60\left(60+x\right)}{120+x}\le 72 /·120+x \\ 120\left(60+x\right)\le 72\left(120+x\right) \\ 120·60+120x\le 72·120+72x \\ 120x-72x\le 72·120-60·120 \\ 48x\le 120·\left(72-60\right) \\ 48x\le 120·12 \\ x\le \frac{120·12}{48} \\ x\le \frac{120}{4} \\ x\le 30 \\ x+60\le 30+60 \\ x+60\le 90,\text{ но }60<x+60 \end{gathered}$$

Ответ: более, чем 60км/ч, но не более, чем 90км/ч

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – весь путь, который прошел поезд.
• $v_1$ – скорость поезда на первой половине пути.
• $v_2$ – скорость поезда на второй половине пути.
• $v_{ср}$ – средняя скорость поезда на всём пути.

По условию, первая половина пути составляет $S/2$, и вторая половина пути также составляет $S/2$. Скорость на первой половине пути $v_1 = 60$ км/ч. На второй половине пути поезд увеличил скорость, следовательно, $v_2 > v_1$, то есть $v_2 > 60$ км/ч.

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Время, затраченное на каждый участок пути:

• Время на первой половине пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ ч.
• Время на второй половине пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$ ч.

Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{120} + \frac{S}{2v_2}$.

Теперь можем выразить среднюю скорость через $v_2$: $v_{ср} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{120} + \frac{S}{2v_2}}$

Вынесем $S$ за скобки в знаменателе и сократим: $v_{ср} = \frac{S}{S(\frac{1}{120} + \frac{1}{2v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{120} + \frac{1}{2v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю: $v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_2 + 60}{120v_2}} = \frac{120v_2}{v_2 + 60}$

Согласно условию, средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч. Это означает, что $v_{ср} \le 72$. Составим и решим неравенство: $\frac{120v_2}{v_2 + 60} \le 72$

Так как скорость $v_2$ должна быть положительной (более того, $v_2 > 60$), знаменатель $v_2 + 60$ всегда положителен. Поэтому можно умножить обе части неравенства на $(v_2 + 60)$, не меняя знак неравенства. $120v_2 \le 72 \cdot (v_2 + 60)$

Раскроем скобки и найдем $v_2$: $120v_2 \le 72v_2 + 72 \cdot 60$ $120v_2 \le 72v_2 + 4320$ $120v_2 - 72v_2 \le 4320$ $48v_2 \le 4320$ $v_2 \le \frac{4320}{48}$ $v_2 \le 90$

Таким образом, мы получили два условия для скорости на второй половине пути: 1. Скорость была увеличена: $v_2 > 60$ км/ч. 2. Средняя скорость не превышала 72 км/ч: $v_2 \le 90$ км/ч.

Объединяя эти условия, получаем, что скорость поезда во второй половине пути $v_2$ удовлетворяет неравенству $60 < v_2 \le 90$.

Ответ: Скорость поезда во второй половине пути могла быть больше 60 км/ч, но не более 90 км/ч.