Номер 1059, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1059, страница 233.

1059. При каких значениях а уравнение имеет два корня, каждый из которых больше 2?

x² – 4ax + 4a² – 25 = 0

$$\begin{gathered} x^2-4ax+4a^2-25=0 \\ D={\left(-4a\right)}^2-4·1·\left(4a^2-25\right)= \\ =16a^2-16a^2+100=100 \\ x=\frac{4a\pm \sqrt{100}}{2}; x=\frac{4a\pm 10}{2} \\ {x}_1=2a+5 \\ {x}_2=2a-5 \\ \left\{\begin{array}{c}2a+5>2\\ 2a-5>2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2a>-3\\ 2a>7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-1,5\\ a>3,5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при a>3,5

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения. Уравнение имеет вид:

$x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$

Заметим, что первые три члена в левой части уравнения представляют собой полный квадрат разности:

$x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2$

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

$(x - 2a)^2 - 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$(x - 2a)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x - 2a = \pm\sqrt{25}$

$x - 2a = \pm5$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x = 2a \pm 5$

То есть, корни уравнения:

$x_1 = 2a - 5$

$x_2 = 2a + 5$

По условию задачи, оба корня должны быть больше 2. Это означает, что должны выполняться два неравенства одновременно:

$\begin{cases} x_1 > 2 \\ x_2 > 2 \end{cases}$

Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} 2a - 5 > 2 \\ 2a + 5 > 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1) $2a - 5 > 2$

$2a > 7$

$a > \frac{7}{2}$

$a > 3.5$

2) $2a + 5 > 2$

$2a > -3$

$a > -\frac{3}{2}$

$a > -1.5$

Для того чтобы выполнялись оба условия, необходимо найти пересечение полученных решений. Мы ищем значения $a$, которые удовлетворяют и условию $a > 3.5$, и условию $a > -1.5$. Если число больше 3.5, оно автоматически будет больше -1.5. Следовательно, общее решение системы неравенств — это $a > 3.5$.

Ответ: $a \in (3.5; +\infty)$